Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Яковлев Г.Н. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§3 9
и
f(β) − f(α) = f
0
(ξ)(β −α)?
Важным следствием теоремы Коши о среднем является
формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
А именно, справедливо следующее утверждение:
Если функция f(x) в некоторой окрестности O(x
0
),
точки x
0
имеет непрерывную производную n-го порядка и
f
(n)
(x) дифференцируема в проколотой окрестности
•
O
(x
0
)
то
∀x ∈
•
O
(x
0
) ∃θ ∈ (0; 1) :
f(x) =
n
X
k=0
f
(k)
(x
0
)
k!
(x − x
0
)
k
+
f
(n+1)
(ξ)
(n + 1)!
(x − x
0
)
n+1
,
где ξ = x
0
+ θ · (x − x
0
).
11. Написать разложения по формуле Тейлора с оста-
точным членом в форме Лагранжа в точке x
0
= 0 следую-
щих элементарных функций:
e
x
, sin x, cos x, (1 + x)
α
, ln (1 + x).
12. С помощью формулы Тейлора оценить абсолютную
погрешность приближенных формул:
а) e
x
≈
P
n
k=0
x
k
k!
, x ∈ [0; 1];
б) sin x ≈ x −
x
3
6
, |x| 6 1/2;
в) tg x ≈ x +
x
3
3
, |x| 6 0,1;
г)
√
1 + x ≈ 1 +
x
2
−
x
2
8
, x ∈ [0; 1].
13. С помощью формулы Тейлора вычислить:
а) e с точностью до 10
−7
;
б) sin 1
◦
с точностью до 10
−8
;
в) lg 11 с точностью до 10
−5
;
г) sin 85
◦
с точностью до 10
−5
.
14. Доказать, что
∀n > 2 ∃θ ∈ (0; 1) : e =
n
X
k=0
1
k!
+
θ
n!n
.
§3                                                                 9

и
               f (β) − f (α) = f 0 (ξ)(β − α)?
   Важным следствием теоремы Коши о среднем является
формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
А именно, справедливо следующее утверждение:
   Если функция f (x) в некоторой окрестности O(x0 ),
точки x0 имеет непрерывную производную n-го порядка и
                                                              •
f (n) (x) дифференцируема в проколотой окрестности O (x0 )
то                             •
                       ∀x ∈O (x0 ) ∃θ ∈ (0; 1) :
                n
              X   f (k) (x0 )              f (n+1) (ξ)
      f (x) =                 (x − x0 )k +             (x − x0 )n+1 ,
                      k!                    (n + 1)!
              k=0
где ξ = x0 + θ · (x − x0 ).
     11. Написать разложения по формуле Тейлора с оста-
точным членом в форме Лагранжа в точке x0 = 0 следую-
щих элементарных функций:
            ex , sin x, cos x, (1 + x)α , ln (1 + x).
     12. С помощью формулы Тейлора оценить абсолютную
погрешность приближенных формул:
                         xk
     а) ex ≈ nk=0 k! , x ∈ [0; 1];
                 P

                      x3
     б)   sin x ≈ x − 6 , |x| 6 1/2;
                      x3
     в)  tg x ≈ x + 3 , |x| 6 0,1;
         √             x    x2
     г)    1 + x ≈ 1 + 2 − 8 , x ∈ [0; 1].
     13. С помощью формулы Тейлора вычислить:
     а) e с точностью до 10−7 ;
     б) sin 1◦ с точностью до 10−8 ;
     в) lg 11 с точностью до 10−5 ;
     г) sin 85◦ с точностью до 10−5 .
     14. Доказать, что
                                      n
                                     X  1    θ
           ∀n > 2 ∃θ ∈ (0; 1) : e =        +   .
                                        k! n!n
                                         k=0

Страницы