Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Яковлев Г.Н. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§4 11
§ 4. Первообразные и неопределенные
интегралы
Функция F (x) называется первообразной для функции
f(x) на промежутке ∆, если она на ∆ непрерывна, кусочно
дифференцируема и F
0
(x) = f(x) всюду на ∆, кроме конеч-
ного числа точек. Если же F (x) дифференцируема на ∆
и F
0
(x) = f(x) ∀x ∈ ∆, то F (x) называется точной перво-
образной для f(x).
Любая первообразная функции f(x) называется неопре-
деленным интегралом от функции f(x) и обозначается
R
f(x)dx.
Доказать следующие утверждения.
1. Если F (x) — какая-то первообразная функции f (x),
то
Z
f(x)dx = F (x) + C,
где C — произвольная постоянная.
2. Если функция f(x) на промежутке ∆ имеет перво-
образную, то
d
dx
Z
f(x)dx = f(x), d
Z
f(x)dx = f(x)dx
на ∆ всюду, кроме, может быть, конечного числа точек.
3. Если функция F (x) непрерывна и кусочно дифферен-
цируема на ∆, то
Z
F
0
(x)dx =
Z
dF (x) = F (x) + C.
4. Если функции f(x) и g(x) на ∆ имеют первообраз-
ные, то
Z
(f(x) ±g(x))dx =
Z
f(x)dx ±
Z
g(x)dx.
5. Если функция f(x) на ∆ имеет первообразную, то
Z
kf(x)dx = k
Z
f(x)dx ∀k 6= 0.
Что будет, если k = 0?
§4                                                        11


       § 4. Первообразные и неопределенные
                    интегралы
     Функция F (x) называется первообразной для функции
f (x) на промежутке ∆, если она на ∆ непрерывна, кусочно
дифференцируема и F 0 (x) = f (x) всюду на ∆, кроме конеч-
ного числа точек. Если же F (x) дифференцируема на ∆
и F 0 (x) = f (x) ∀x ∈ ∆, то F (x) называется точной перво-
образной для f (x).
     Любая первообразная функции f (x) называется неопре-
деленным
R           интегралом от функции f (x) и обозначается
   f (x)dx.

     Доказать следующие утверждения.
     1. Если F (x) — какая-то первообразная функции f (x),
то                  Z
                      f (x)dx = F (x) + C,
где C — произвольная постоянная.
   2. Если функция f (x) на промежутке ∆ имеет перво-
образную, то
           Z                   Z
         d
             f (x)dx = f (x), d f (x)dx = f (x)dx
        dx
на ∆ всюду, кроме, может быть, конечного числа точек.
   3. Если функция F (x) непрерывна и кусочно дифферен-
цируема на ∆,
            Z то          Z
                F 0 (x)dx =   dF (x) = F (x) + C.
   4. Если функции f (x) и g(x) на ∆ имеют первообраз-
ные, то Z                   Z         Z
          (f (x) ± g(x))dx = f (x)dx ± g(x)dx.
     5. Если функция f (x) на ∆ имеет первообразную, то
              Z             Z
                kf (x)dx = k f (x)dx ∀k 6= 0.
Что будет, если k = 0?

Страницы