Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Яковлев Г.Н. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

12 Глава 1. Производные, дифференциалы и первообразные
6. Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы на ∆ и
функция g(x)f
0
(x) имеет первообразную, то
Z
f(x)g
0
(x)dx = f(x)g(x) −
Z
g(x)f
0
(x)dx
(формула интегрирования по частям).
7. Пусть функции f(y) и ϕ(x) определены на некото-
рых промежутках и такие, что имеет смысл композиция
f(ϕ(x)). Тогда если ϕ(x) дифференцируема, а f(y) имеет
первообразную, то
Z
f(ϕ(x))ϕ
0
(x)dx =
Z
f(y)dy,
где y = ϕ(x). Если функция x = ϕ
−1
(y) дифференцируема,
а функция f(ϕ(x))ϕ
0
(x) имеет первообразную, то
Z
f(y)dy =
Z
f(ϕ(x))ϕ
0
(x)dx,
где x = ϕ
−1
(y).
Привести примеры использования этих формул.
8. Найти первообразную функции f(x) = e
|x|
, x ∈ R.
Будет ли эта первообразная точной?
9. Найти первообразную функции f(x) = sgn x, x ∈ R.
Будет ли эта первообразная точной?
10. Пусть P (x)/Q(x) — правильная рациональная
дробь. Тогда если число a — корень кратности k > 1 мно-
гочлена Q(x), т.е. Q(x) = (x − a)
k
Q
1
(x) и Q
1
(a) 6= 0, то
существуют число A и многочлен P
1
(x) такие, что
P (x)
Q(x)
=
A
(x − a)
k
+
P
1
(x)
(x − a)
k−1
Q
1
(x)
,
где последняя дробь является правильной.
11. Пусть P (x)/Q(x) — правильная рациональная
дробь, и пусть Q(x) = ((x − α)
2
+ β
2
)
k
Q
1
(x), β 6= 0, при-
чем многочлен Q
1
(x) не делится на (x − α)
2
+ β
2
. Тогда
существуют постоянные A и B и многочлен P
1
(x) такие,
12      Глава 1. Производные, дифференциалы и первообразные


   6. Если функции f (x) и g(x) дифференцируемы на ∆ и
функция g(x)f 0 (x) имеет первообразную, то
        Z                           Z
          f (x)g (x)dx = f (x)g(x) − g(x)f 0 (x)dx
                  0


(формула интегрирования по частям).
    7. Пусть функции f (y) и ϕ(x) определены на некото-
рых промежутках и такие, что имеет смысл композиция
f (ϕ(x)). Тогда если ϕ(x) дифференцируема, а f (y) имеет
первообразную,Z то               Z
                   f (ϕ(x))ϕ0 (x)dx =   f (y)dy,
где y = ϕ(x). Если функция x = ϕ−1 (y) дифференцируема,
а функция f (ϕ(x))ϕ0 (x) имеет первообразную, то
              Z            Z
                 f (y)dy = f (ϕ(x))ϕ0 (x)dx,
где x = ϕ−1 (y).
     Привести примеры использования этих формул.
   8. Найти первообразную функции f (x) = e|x| , x ∈ R.
Будет ли эта первообразная точной?
   9. Найти первообразную функции f (x) = sgn x, x ∈ R.
Будет ли эта первообразная точной?
   10. Пусть P (x)/Q(x) — правильная рациональная
дробь. Тогда если число a — корень кратности k > 1 мно-
гочлена Q(x), т.е. Q(x) = (x − a)k Q1 (x) и Q1 (a) 6= 0, то
существуют число A и многочлен P1 (x) такие, что
           P (x)      A            P1 (x)
                 =        k
                            +                   ,
           Q(x)    (x − a)    (x − a)k−1 Q1 (x)
где последняя дробь является правильной.
   11. Пусть P (x)/Q(x) — правильная рациональная
дробь, и пусть Q(x) = ((x − α)2 + β 2 )k Q1 (x), β 6= 0, при-
чем многочлен Q1 (x) не делится на (x − α)2 + β 2 . Тогда
существуют постоянные A и B и многочлен P1 (x) такие,

Страницы