Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Яковлев Г.Н. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

10 Глава 1. Производные, дифференциалы и первообразные
15. Доказать, что если функция f(x), x ∈ R, ограничена
и имеет ограниченные производные f
0
(x) и f
00
(x), то
kf
0
k
2
6 2kfk · kf
00
k,
где, например, kfk = sup
x
|f(x)|.
16. Для приближенного вычисления длины дуги окруж-
ности П.Л. Чебышев предложил следующее правило:
Длина дуги окружности приближенно равна сумме длин
равных сторон равнобедренного треугольника, построен-
ного на хорде и имеющего высоту 2/
√
3 стрелки.
Оценить относительную погрешность этого правила
Чебышева.
17. Пусть s — длина дуги окружности, d — длина
соответствующей ей хорды, а δ — длина хорды, соответ-
ствующей половине дуги. При каких значениях A и B при-
ближенное равенство s ≈ Ad + Bδ будет наиболее точным
для малых дуг? (Формула Х. Гюйгенса.)
18. Пусть функция f(x) в некоторой окрестности O(x
0
)
точки x
0
имеет непрерывную производную n-го порядка и
f
(n)
(x) дифференцируема в проколотой окрестности
•
O
(x
0
).
Доказать, что тогда для любой функции ϕ(x), которая не-
прерывна в O(x
0
) и имеет отличную от нуля конечную про-
изводную в
•
O
(x
0
), справедливо следующее утвержде ние:
∀x ∈
•
O
(x
0
) ∃θ ∈ (0; 1) :
f(x) =
n
X
k=0
f
(k)
(x
0
)
k!
(x−x
0
)
k
+
ϕ(x) − ϕ(x
0
)
ϕ
0
(ξ)
·
f
(n+1)
(ξ)
n!
(x−ξ)
n
,
где ξ = x
0
+ θ(x −x
0
).
19. Из предыдущей формулы при ϕ(z) = (x −z)
p
, p > 0,
вывести формулу Тейлора с остаточным членом в форме
О. Шлемильха:
r
n
(x) =
f
(n+1)
(ξ)
n!p
(1 − θ)
n+1−p
(x − x
0
)
n+1
.
10        Глава 1. Производные, дифференциалы и первообразные


   15. Доказать, что если функция f (x), x ∈ R, ограничена
и имеет ограниченные производные f 0 (x) и f 00 (x), то
                    kf 0 k2 6 2kf k · kf 00 k,
где, например, kf k = supx |f (x)|.
   16. Для приближенного вычисления длины дуги окруж-
ности П.Л. Чебышев предложил следующее правило:
   Длина дуги окружности приближенно равна сумме длин
равных сторон равнобедренного треугольника,
                                  √           построен-
ного на хорде и имеющего высоту 2/ 3 стрелки.
   Оценить относительную погрешность этого правила
Чебышева.
   17. Пусть s — длина дуги окружности, d — длина
соответствующей ей хорды, а δ — длина хорды, соответ-
ствующей половине дуги. При каких значениях A и B при-
ближенное равенство s ≈ Ad + Bδ будет наиболее точным
для малых дуг? (Формула Х. Гюйгенса.)
   18. Пусть функция f (x) в некоторой окрестности O(x0 )
точки x0 имеет непрерывную производную n-го порядка и
                                                                 •
f (n) (x) дифференцируема в проколотой окрестности O (x0 ).
Доказать, что тогда для любой функции ϕ(x), которая не-
прерывна в O(x0 ) и имеет отличную от нуля конечную про-
                 •
изводную в O (x0 ), справедливо следующее утверждение:
                               •
                       ∀x ∈O (x0 ) ∃θ ∈ (0; 1) :
          n
          X f (k) (x0 )                ϕ(x) − ϕ(x0 ) f (n+1) (ξ)
f (x) =                   (x−x0 )k +                ·            (x−ξ)n ,
                  k!                      ϕ0 (ξ)         n!
         k=0
где ξ   = x0 +   θ(x − x0 ).
   19. Из предыдущей формулы при ϕ(z) = (x − z)p , p > 0,
вывести формулу Тейлора с остаточным членом в форме
О. Шлемильха:
                 f (n+1) (ξ)
        rn (x) =             (1 − θ)n+1−p (x − x0 )n+1 .
                     n!p

Страницы