Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Яковлев Г.Н. - 13 стр.

                Глава 2
    Исследование функций с помощью
              производных

         § 1. Правила Лопиталя раскрытия
                 неопределенностей

   Пусть функции f (x) и g(x) на интервале (a; b) диффе-
ренцируемы, g 0 (x) 6= 0 и f (x) → 0, g(x) → 0 (или f (x) → ∞,
g(x) → ∞) при x → b. Тогда если при x → b отношение
производных f 0 (x)/g 0 (x) имеет предел, то
                          f (x)       f 0 (x)
                     lim        = lim 0       .
                     x→b g(x)     x→b g (x)
Аналогичное утверждение справедливо и при x → a.
   Отметим, что здесь интервал (a; b) и предел отношения
могут быть как конечными, так и бесконечными.
   Сформулированные утверждения называются прави-
                                                      0    ∞
лами Лопиталя раскрытия неопределенностей вида 0 и ∞ .


   1. В правилах Лопиталя раскрытия неопределенностей
     0   ∞
вида 0 и ∞ утверждается, что если предел отношения про-
изводных существует, то отношение самих функций тоже
имеет предел.
   Справедливо ли обратное утверждение?
                                     x + sin x
   Рассмотреть предел отношения         x
                                               при x → +∞.
   2. Справедливо ли утверждение: если предел отноше-
ния производных существует, то предел отношения самих
функций равен пределу отношения производных?
   Рассмотреть предел отношения функций f (x) = sin x +
+ cos x и g(x) = x + 2 при x → 0.

   Вычислить следующие пределы: