Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Яковлев Г.Н. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

16 Глава 2. Исследование функций с помощью производных
1. Используя формулу Те йлора с остаточным членом в
форме Лагранжа, доказать, что если функция f(x) в неко-
торой окрестности точки x
0
имеет n-ю производную и эта
производная непрерывна в точке x
0
, то справедливо следу-
ющее асимптотическое равенство:
f(x) =
n
X
k=0
f
(k)
(x
0
)
k!
(x −x
0
)
k
+ o((x −x
0
)
n
) при x → x
0
. (1)
(Оно называется формулой Тейлора с остаточным членом
в форме Пеано.)
2. Доказать, что асимптотическое равенство (1) спра-
ведливо для любой функции f(x), которая в точке x
0
имеет
n-ю производную.
3. Пусть функция f(x) определе на на интервале (a; x
0
)
(или на (x
0
; b)). Доказать, что для любого целого q эта
функция может иметь единственное асимптотическое раз-
ложение вида
f(x) =
q
X
k=p
a
k
(x − x
0
)
k
+ o((x − x
0
)
q
) при x → x
0
,
где p — целое, и p 6 q.
4. Пусть функция f(x) определена на интервале (a; +
+∞) (или на (−∞; b)). Доказать, что для любого целого
q эта функция может иметь единственное асимптотическое
разложе ние вида
f(x) =
q
X
k=p
a
k
x
k
+ o
1
x
q
при x → +∞ (x → −∞).
5. Вывести ф ормулу Тейлора с остаточным членом в
форме Пеано в точке x
0
= 0 для функций:
ch x, sh x, arctg x, arcctg x, arcsin x, arccos x.
6. Применяя метод неопределенных коэффициентов,
разложить функцию tg x по ф ормуле Маклорена до o(x
5
).
16     Глава 2. Исследование функций с помощью производных

    1. Используя формулу Тейлора с остаточным членом в
форме Лагранжа, доказать, что если функция f (x) в неко-
торой окрестности точки x0 имеет n-ю производную и эта
производная непрерывна в точке x0 , то справедливо следу-
ющее асимптотическое равенство:
         n
         X  f (k) (x0 )
 f (x) =                (x − x0 )k + o((x − x0 )n ) при x → x0 . (1)
                k!
         k=0
(Оно называется формулой Тейлора с остаточным членом
в форме Пеано.)
   2. Доказать, что асимптотическое равенство (1) спра-
ведливо для любой функции f (x), которая в точке x0 имеет
n-ю производную.
   3. Пусть функция f (x) определена на интервале (a; x0 )
(или на (x0 ; b)). Доказать, что для любого целого q эта
функция может иметь единственное асимптотическое раз-
ложение вида
             X q
     f (x) =      ak (x − x0 )k + o((x − x0 )q ) при x → x0 ,
               k=p
где p — целое, и p 6 q.
    4. Пусть функция f (x) определена на интервале (a; +
+∞) (или на (−∞; b)). Доказать, что для любого целого
q эта функция может иметь единственное асимптотическое
разложение вида
             q        
             X ak      1
     f (x) =    k
                  +o        при x → +∞ (x → −∞).
               x      xq
               k=p

   5. Вывести формулу Тейлора с остаточным членом в
форме Пеано в точке x0 = 0 для функций:
   ch x, sh x, arctg x, arcctg x, arcsin x, arccos x.

   6. Применяя метод неопределенных коэффициентов,
разложить функцию tg x по формуле Маклорена до o(x5 ).

Страницы