Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Яковлев Г.Н. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

18 Глава 2. Исследование функций с помощью производных
1. Функция f(x) строго возрастает (убывает) на от-
резке [a; b] ⊂ D
f
, если она непрерывна на [a; b], дифферен-
цируема на интервале (a; b) и f
0
(x) > 0 (< 0) на (a; b).
2. Пусть функция f(x) непрерывна в окрестности точки
x
0
и дифференцируема в проколотой окрестности. Тогда,
если при переходе через точку x
0
производная меняет знак
с + на −, то x
0
— точка строгого максимума, а если с −
на +, то x
0
— точка строгого минимума функции f(x).
3. Пусть функция f (x) в точке x
0
имеет конечную n-ю
производную f
(n)
(x
0
) 6= 0, а f
0
(x
0
) = ... = f
(n−1)
(x
0
) = 0.
Тогда если n четное и f
(n)
(x
0
) > 0 (< 0), то x
0
— точка
строгого минимума (максимума) функции f(x). Если же n
нечетное и f
(n)
(x
0
) > 0 (< 0), то при переходе через точку
x
0
функция f(x) возрастает (убывает).
Функция f(x) называется выпуклой вниз (вверх) на ин-
тервале (a; b) ⊂ D
f
, если для любых x
1
,x
2
∈ (a; b) и любых
положительных α
1
,α
2
таких, что α
1
+ α
2
= 1,
f(α
1
x
1
+ α
2
x
2
) 6 α
1
f(x
1
) + α
2
f(x
2
)
(соотв. f(α
1
x
1
+ α
2
x
2
) > α
1
f(x
1
) + α
2
f(x
2
)).
Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрест-
ности точки x
0
и в этой точке ее график имеет касательную.
Тогда если существует O(x
0
) такая, что точки графика
функции при x ∈
•
O
(x
0
) лежат выше (ниже) касательной,
то x
0
называется точкой выпуклости вниз (вверх) функции
f(x). Если же точки графика ее сужения на O(x
0
) для x <
< x
0
и x > x
0
лежат по разные стороны от кас ательной, то
x
0
называется точкой перегиба функции f(x).
4. Если функция f(x) дифференцируема на интервале
(a; b) и f
0
(x) строго убывает (возрастает) на (a; b), то f(x)
строго выпукла вверх (вниз) на (a; b).
5. Если функция f(x) в точке x
0
имеет конечную вто-
рую производную и точка x
0
— точка перегиба, то f
00
(x
0
) =
= 0.
18     Глава 2. Исследование функций с помощью производных


   1. Функция f (x) строго возрастает (убывает) на от-
резке [a; b] ⊂ Df , если она непрерывна на [a; b], дифферен-
цируема на интервале (a; b) и f 0 (x) > 0 (< 0) на (a; b).
   2. Пусть функция f (x) непрерывна в окрестности точки
x0 и дифференцируема в проколотой окрестности. Тогда,
если при переходе через точку x0 производная меняет знак
с + на −, то x0 — точка строгого максимума, а если с −
на +, то x0 — точка строгого минимума функции f (x).
   3. Пусть функция f (x) в точке x0 имеет конечную n-ю
производную f (n) (x0 ) 6= 0, а f 0 (x0 ) = ... = f (n−1) (x0 ) = 0.
Тогда если n четное и f (n) (x0 ) > 0 (< 0), то x0 — точка
строгого минимума (максимума) функции f (x). Если же n
нечетное и f (n) (x0 ) > 0 (< 0), то при переходе через точку
x0 функция f (x) возрастает (убывает).
   Функция f (x) называется выпуклой вниз (вверх) на ин-
тервале (a; b) ⊂ Df , если для любых x1 ,x2 ∈ (a; b) и любых
положительных α1 ,α2 таких, что α1 + α2 = 1,
            f (α1 x1 + α2 x2 ) 6 α1 f (x1 ) + α2 f (x2 )
      (соотв. f (α1 x1 + α2 x2 ) > α1 f (x1 ) + α2 f (x2 )).
   Пусть функция y = f (x) определена в некоторой окрест-
ности точки x0 и в этой точке ее график имеет касательную.
Тогда если существует O(x0 ) такая, что точки графика
                    •
функции при x ∈O (x0 ) лежат выше (ниже) касательной,
то x0 называется точкой выпуклости вниз (вверх) функции
f (x). Если же точки графика ее сужения на O(x0 ) для x <
< x0 и x > x0 лежат по разные стороны от касательной, то
x0 называется точкой перегиба функции f (x).
    4. Если функция f (x) дифференцируема на интервале
(a; b) и f 0 (x) строго убывает (возрастает) на (a; b), то f (x)
строго выпукла вверх (вниз) на (a; b).
   5. Если функция f (x) в точке x0 имеет конечную вто-
рую производную и точка x0 — точка перегиба, то f 00 (x0 ) =
= 0.

Страницы