Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Яковлев Г.Н. - 18 стр.

§ 3 Экстремумы и точки перегиба                          19


   6. Если функция f (x) в точке x0 непрерывна и f 0 (x0 ) =
= +∞ (или −∞), то x0 — точка перегиба для f (x).
   7. Равенство нулю второй производной является необ-
ходимым условием, а смена знака второй производной —
достаточным условием точки перегиба функции.
   8. Можно ли утверждать, что если x0 — точка перегиба
функции y = f (x), то она разделяет интервалы выпуклости
разной направленности? А наоборот, если x0 разделяет ин-
тервалы выпуклости, то x0 — точка перегиба? Будет ли
точка возврата точкой перегиба?
   9. Можно ли утверждать, что произведение выпуклых
вверх функций является выпуклой вверх функцией?
   10. Доказать, что если функция f (x) на интервале (a; b)
выпукла вниз, то она непрерывна на (a; b).
   11. Если дважды дифференцируемая на R функция f (x)
ограничена на R, то ∃x0 : f 00 (x0 ) = 0.
   12. Пусть дифференцируемая на интервале (0; +∞)
функция f (x) не меняет направление выпуклости. Дока-
зать, что если lim f (x) = A, то lim f 0 (x) = 0.
               x→+∞                 x→+∞
    13. Пусть дифференцируемая на интервале (0; +∞)
функция f (x) не меняет направление выпуклости. Дока-
зать, что если прямая y = kx + b является асимптотой для
f (x) при x → +∞, то lim f 0 (x) = k. А если, кроме того,
                      x→+∞
график этой функции лежит ниже асимптоты, то она вы-
пукла вверх.
   14. Доказать, что если 0 < α < 1, то
               xα − αx 6 1 − α ∀x > 0,
причем равенство возможно только при x = 1.
                                    1       1
   15. Доказать, что если p > 1 и q = 1 − p , то
                   1     1
             ab 6 ap + bq ∀a > 0,b > 0,
                   p     q
(неравенство Юнга).