Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Яковлев Г.Н. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

20 Глава 2. Исследование функций с помощью производных
16. Для того чтобы функция f была выпуклой вниз
(вверх) на отрезке [a; b], необходимо и достаточно, чтобы
на любом интервале (x
1
; x
2
) ⊂ [a; b] выполнялось условие:
∀x ∈ (x
1
; x
2
)
f(x) − f(x
1
)
x − x
1
6
f(x
2
) − f(x)
x
2
− x
( соотв.,
f(x) − f(x
1
)
x − x
1
>
f(x
2
) − f(x)
x
2
− x
).
17. Если функция f выпукла вниз на отрезке [a; b], то
для любых x
1
,x
2
,x
0
таких, что a < x
1
< x
2
< x
0
< b,
справедливо неравенство
f(x
1
) − f(x
0
)
x
1
− x
0
6
f(x
2
) − f(x
0
)
x
2
− x
0
.
А если a < x
0
< x
2
< x
1
< b, то
f(x
1
) − f(x
0
)
x
1
− x
0
>
f(x
2
) − f(x
0
)
x
2
− x
0
.
18. Если функция f выпукла вниз или вверх на отрезке
[a; b], то она на любом отрезке [α; β] ⊂ (a; b) удовлетворяет
условию Липшица, т.е.
∃C : ∀x
1
,x
2
∈ [α : β] |f(x
1
) − f(x
2
)| 6 C|x
1
− x
2
|.
19. Если функция f выпукла вниз или вверх на отрезке
[a; b], то в любой точке x
0
∈ (a; b) у нее существуют од-
носторонние производные. Причем если f выпукла вниз,
то f
−
0
(x
0
) 6 f
0
+
(x
0
), а если f выпукла вверх, то f
−
0
(x
0
) >
> f
0
+
(x
0
).
20. Если функция f выпукла вниз на отрезке [a; b], то
для любых x
1
и x
2
таких, что a < x
1
< x
2
< b справедливо
неравенство f
+
0
(x
1
) 6 f
−
0
(x
2
).
21. Если функция f выпукла (вниз или вверх) на от-
резке [a; b], то существует не более чем счетное множество
γ точек интервала (a; b), вне которого, т.е. в любой точке
x ∈ (a; b)\γ, функция f дифференцируема.
22. Если функция f выпукла вниз на отрезке [a; b], то
для любых точек x
1
,x
2
,...,x
n
из [a; b] и любых положитель-
ных чисел α
1
,α
2
,...,α
n
, сумма которых равна 1, справедливо
20     Глава 2. Исследование функций с помощью производных

     16. Для того чтобы функция f была выпуклой вниз
(вверх) на отрезке [a; b], необходимо и достаточно, чтобы
на любом интервале (x1 ; x2 ) ⊂ [a; b] выполнялось условие:
                             f (x) − f (x1 )    f (x2 ) − f (x)
          ∀x ∈ (x1 ; x2 )                    6
                                 x − x1             x2 − x
                          f (x) − f (x1 )    f (x2 ) − f (x)
           ( соотв.,                      >                  ).
                              x − x1             x2 − x
     17. Если функция f выпукла вниз на отрезке [a; b], то
для любых x1 ,x2 ,x0 таких, что a < x1 < x2 < x0 < b,
справедливо неравенство
                f (x1 ) − f (x0 )     f (x2 ) − f (x0 )
                                   6                    .
                     x1 − x0              x2 − x0
А если a < x0 < x2 < x1 < b, то
                f (x1 ) − f (x0 )     f (x2 ) − f (x0 )
                                   >                    .
                     x1 − x0              x2 − x0
     18. Если функция f выпукла вниз или вверх на отрезке
[a; b], то она на любом отрезке [α; β] ⊂ (a; b) удовлетворяет
условию Липшица, т.е.
      ∃C : ∀x1 ,x2 ∈ [α : β] |f (x1 ) − f (x2 )| 6 C|x1 − x2 |.
     19. Если функция f выпукла вниз или вверх на отрезке
[a; b], то в любой точке x0 ∈ (a; b) у нее существуют од-
носторонние производные. Причем если f выпукла вниз,
то f− 0 (x0 ) 6 f+0 (x0 ), а если f выпукла вверх, то f− 0 (x0 ) >
> f+0 (x0 ).
     20. Если функция f выпукла вниз на отрезке [a; b], то
для любых x1 и x2 таких, что a < x1 < x2 < b справедливо
неравенство f+ 0 (x1 ) 6 f− 0 (x2 ).
     21. Если функция f выпукла (вниз или вверх) на от-
резке [a; b], то существует не более чем счетное множество
γ точек интервала (a; b), вне которого, т.е. в любой точке
x ∈ (a; b)\γ, функция f дифференцируема.
     22. Если функция f выпукла вниз на отрезке [a; b], то
для любых точек x1 ,x2 ,...,xn из [a; b] и любых положитель-
ных чисел α1 ,α2 ,...,αn , сумма которых равна 1, справедливо

Страницы