Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Яковлев Г.Н. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Глава 3
Векторные функции и кривые
на плоскости и в пространстве
§ 1. Пределы и производные векторных
функций
Пусть t
0
— конечная или бесконечно удаленная предель-
ная точка множества T ⊂ R. Вектор ~a называется пределом
векторной функции ~r = ~r(t), t ∈ T , при t → t
0
, если
lim
t→t
0
|~r(t) −~a| = 0.
В этом случае пишут: ~a = lim
t→t
0
~r(t) или ”~r(t) → ~a при t →
→ t
0
”.
Векторная функция ~r(t), t ∈ T , называется непрерывной
в предельной точке t
0
∈ T , если lim
t→t
0
~r(t) = ~r(t
0
). В изоли-
рованной точке множества T функция ~r(t) тоже считается
непрерывной.
Пусть заданы векторная функция ~r(t), t ∈ T , и точка
t
0
∈ T . Тогда предел
lim
t→t
0
~r(t) −~r (t
0
)
t − t
0
называется производной этой функции в точке t
0
и обозна-
чается ~r
0
(t
0
) или
d~r
dt
(t
0
).
Векторная функция ~r(t) называется диффе ренцируемой
в точке t
0
, если она определена в некоторой окрестности
O(t
0
) и имеет ~r
0
(t
0
).
Доказать следующие утверждения.
1. Пусть задана последовательность векторов ~a
1
, ~a
2
,
. . . , ~a
n
, . . . Для того чтобы вектор ~a был пределом этой по-
следовательности, необходимо и достаточно, чтобы выпол-
                  Глава 3
       Векторные функции и кривые
       на плоскости и в пространстве

     § 1. Пределы и производные векторных
                    функций
   Пусть t0 — конечная или бесконечно удаленная предель-
ная точка множества T ⊂ R. Вектор ~a называется пределом
векторной функции ~r = ~r(t), t ∈ T , при t → t0 , если
                    lim |~r(t) − ~a| = 0.
                          t→t0
В этом случае пишут: ~a = lim ~r(t) или ”~r(t) → ~a при t →
                                 t→t0
→ t0 ”.
   Векторная функция ~r(t), t ∈ T , называется непрерывной
в предельной точке t0 ∈ T , если lim ~r(t) = ~r(t0 ). В изоли-
                                        t→t0
рованной точке множества T функция ~r(t) тоже считается
непрерывной.
    Пусть заданы векторная функция ~r(t), t ∈ T , и точка
t0 ∈ T . Тогда предел
                           ~r(t) − ~r(t0 )
                       lim
                      t→t0     t − t0
называется производной этой функции в точке t0 и обозна-
                    d~r
чается ~r 0 (t0 ) или dt (t0 ).
   Векторная функция ~r(t) называется дифференцируемой
в точке t0 , если она определена в некоторой окрестности
O(t0 ) и имеет ~r 0 (t0 ).

   Доказать следующие утверждения.

       1. Пусть задана последовательность векторов ~a1 , ~a2 ,
. . . , ~an , . . . Для того чтобы вектор ~a был пределом этой по-
следовательности, необходимо и достаточно, чтобы выпол-

Страницы