Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Яковлев Г.Н. - 23 стр.

24                        Глава 3. Векторные функции и кривые


     10. Если функции f (t) и ~r(t) дифференцируемы в точке
t0 , то в этой точке
                     (f~r)0 = f 0~r + f~r 0 .
     11. Если функция ϕ = ϕ(t) дифференцируема в точке
t0 , а функция ~r = ~r(ϕ) дифференцируема в точке ϕ0 = ϕ(t0 ),
то сложная функция ~r(ϕ(t)) дифференцируема в точке t0 и
                           d~r   d~r dϕ
                               =     ·   .
                           dt    dϕ dt
     12. При движении точки по сфере ее скорость ортого-
нальна радиусу сферы.
     13. Верно ли, что если векторная функция ~r(t) непре-
рывна на отрезке [a; b] и дифференцируема на интервале
(a; b), то
            ∃ξ ∈ (a; b) : ~r(b) − ~r(a) = ~r 0 (ξ)(b − a)?
   14. Если ~r(t) непрерывна на [a; b] и дифференцируема
на (a; b), то
           ∃ξ ∈ (a; b) : |~r(b) − ~r(a)| 6 |~r 0 (ξ)|(b − a).
     15. Если функция ~r(t) дифференцируема в точке t0 и
~r(t0 ) 6= ~0, то |~r(t)| тоже дифференцируема в точке t0 .
     Является ли существенным условие ~r(t0 ) = ~0?
     16. Если функция ~r(t), t ∈ (a; b), дифференцируема и
~r(t) 6= ~0 на (a; b), то направление вектора ~r(t) постоянно на
 (a; b) тогда и только тогда, когда ~r 0 (t)k~r на (a; b).
     Где используется условие ~r(t) 6= ~0?
     17. Если дважды дифференцируемая на промежутке ∆
 функция ~r(t) такая, что
                     (~r,~r 0 ,~r00 ) = 0, [~r,~r 0 ] 6= ~0 ∀t ∈ ∆,
 то годограф этой функции лежит на некоторой плоскости.
     18. Траектория материальной точки, движущейся под
 действием центральной силы, является плоской.
     19. Годографом функции ~r = ~a + t~b + t2~c, где ~a,~b,~c —
 постоянные векторы, является парабола, если [~b,~c] 6= ~0.