Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Яковлев Г.Н. - 24 стр.

§2                                                           25


   20. Годографом функции ~r = ~a + cos t · ~b + sin t · ~c,
t ∈ [0; 2π], ~a,~b,~c — постоянные векторы, является эллипс,
если [~b,~c] 6= ~0.

     § 2. Кривые на плоскости и в пространстве
    Пусть на промежутке ∆ задана непрерывная векторная
функция ~r(t). Тогда множество Γ всех точек простран-
ства (или плоскости) с радиус-векторами ~r = ~r(t), t ∈ ∆,
называется ориентированной кривой, а функция ~r(t), t ∈
∈ ∆, — параметрическим заданием (или представлением)
этой кривой. Считается, что другая непрерывная вектор-
ная функция f~(τ ), τ ∈ ∆,  ˜ задает ту же ориентированную
кривую Γ, если существует непрерывная строго возраста-
ющая функция τ = ϕ(t), t ∈ ∆, такая, что ϕ(∆) = ∆       ˜ и
~
f (ϕ(t)) = ~r(t) ∀t ∈ ∆. Любая такая функция τ = ϕ(t) назы-
вается допустимым преобразованием параметра кривой Γ.
    Кривая, имеющая дифференцируемое (или непрерывно
дифференцируемое) представление, называется дифферен-
цируемой (соответственно, непрерывно дифференцируе-
мой). Аналогично определяются n раз дифференцируемые
кривые.
    Пусть задана кривая Γ = {~r(t),t ∈ ∆}. Через точки M
и M0 с радиус-векторами ~r = ~r(t) и ~r0 = ~r(t0 ) проведем
секущую M M0 . Очевидно, вектор
                                ∆~r/∆t
                          ~e =          ,
                               |∆~r/∆t|
где ∆t = t − t0 , ∆~r = ~r(t) − ~r(t0 ), является единичным
вектором прямой M0 M . Тогда прямая ~r = ~r0 + t~e, где ~e =
= lim ~e(t), называется касательной к кривой Γ в точке M0 .
     t→t0
   Пусть Γ = {~r(t),t ∈ ∆} — дифференцируемая кривая.
Точка M0 этой кривой с радиус-вектором ~r(t0 ) называется
неособой, если ~r 0 (t0 ) 6= ~0, и особой, если ~r 0 (t0 ) = ~0.
   Непрерывно дифференцируемая кривая без особых то-
чек называется гладкой кривой.