Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Яковлев Г.Н. - 25 стр.

26                         Глава 3. Векторные функции и кривые

     Доказать следующие утверждения.
    1. Дифференцируемая кривая Γ = {~r(t),t ∈ ∆} в любой
неособой точке M0 с радиус-вектором ~r(t0 ) имеет касатель-
ную, которая задается уравнением
                 ~r = ~r(t0 ) + ~r 0 (t0 )(t − t0 ).
    2. Если кривая Γ = {~r(t),t ∈ ∆} такая, что в точке
t0 существует ~r(n) (t0 ) 6= ~0, а ~r 0 (t0 ) = . . . = ~r(n−1) (t0 ) =
= ~0, то в точке M0 с радиус-вектором ~r0 = ~r(t0 ) у кривой
Γ существуют односторонние касательные. Причем если n
нечетное, то в точке M0 существует обычная касательная
(т.е. в точке M0 нет излома), а если n четное, то M0 —
точка возврата.
    3. Если плоская гладкая кривая Γ имеет концевые
точки, то она является суммой конечного числа гладких
кривых, каждая из которых имеет явное задание (может
быть, с другой ориентацией). Справедливо ли это утвер-
ждение для гладкой кривой без концевых точек?
    4. Какую кривую задают уравнения
                   1 − t2              2t
              x=         2
                           , y=              , t ∈ R?
                   1+t               1 + t2
    5. Какие преобразования параметра гладкой кривой
являются допустимыми?

                      § 3. Длина кривой
   Длиной кривой Γ называется точная верхняя грань длин
ломанных, вписанных в эту кривую. Очевидно, длина S
любой кривой Γ удовлетворяет неравенствам: 0 6 S 6 +
+∞. Если S < +∞, то кривая Γ называется спрямляемой.


     Доказать следующие утверждения.
   1. Если кривая Γ спрямляема, то и любая кривая γ,
являющаяся частью кривой Γ, тоже спрямляема.