Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Яковлев Г.Н. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

28 Глава 3. Векторные функции и кривые
Пусть кривая Γ в точке M имеет кривизну k > 0. Тогда
число R = 1/k называется радиусом кривизны кривой, а
точка с радиус-вектором ~ρ = ~r + R~n — центром кривизны
кривой Γ в точке M .
Множество γ всех центров кривизны данной кривой Γ
называется ее эволютой, а кривая Γ называется эвольвен-
той для γ.
Доказать следующие утверждения.
1. Если гладкая кривая Γ = {~r(t),t ∈ ∆} дважды диф-
ференцируема, то
k(t) =
|[~r
00
,~r
0
]|
|~r
0
|
3
, t ∈ ∆,
где ~r
0
— производная по параметру t.
В частности, если плоская кривая Γ задана уравнениями
x = x(t), y = y(t), то
k(t) =
|x
00
y
0
− y
00
x
0
|
(x
02
+ y
02
)
3/2
.
2. Кривизна окружности радиуса R равна k = 1/R .
3. Если k(x) — кривизна параболы y = ax
2
, a > 0, то
k(0) = 2a, lim
x→±0
k(x) = 0.
4. Если k(x) — кривизна эллипса x = a cos t, y = b sin t,
a > b, то
max
t
k(t) =
a
b
2
, min
t
k(t) =
b
a
2
.
5. Если гладкая кривая Γ = {~r(t),t ∈ ∆} дважды диф-
ференцируема, то ее эволюта задается векторной функцией
~ρ = ~r +
|~r
0
|
2
|[~r
00
,~r
0
]|
2
[~r
0
,[~r
00
,~r
0
]], t ∈ ∆.
6. Эволюта гладкой дважды дифференцируемой кривой
Γ = {x(t),y(t),t ∈ ∆} задается уравнениями:
ξ = x −
x
02
+ y
02
x
0
y
00
− x
00
y
0
y
0
,
η = y +
x
02
+ y
02
x
0
y
00
− x
00
y
0
x
0
.
28                       Глава 3. Векторные функции и кривые

   Пусть кривая Γ в точке M имеет кривизну k > 0. Тогда
число R = 1/k называется радиусом кривизны кривой, а
точка с радиус-вектором ρ
                        ~ = ~r + R~n — центром кривизны
кривой Γ в точке M .
   Множество γ всех центров кривизны данной кривой Γ
называется ее эволютой, а кривая Γ называется эвольвен-
той для γ.

     Доказать следующие утверждения.
   1. Если гладкая кривая Γ = {~r(t),t ∈ ∆} дважды диф-
ференцируема, то
                          |[~r 00 ,~r 0 ]|
                   k(t) =                  , t ∈ ∆,
                              |~r 0 |3
где ~r 0 — производная по параметру t.
   В частности, если плоская кривая Γ задана уравнениями
x = x(t), y = y(t), то
                              |x00 y 0 − y 00 x0 |
                     k(t) = 02                     .
                              (x + y 02 )3/2
   2. Кривизна окружности радиуса R равна k = 1/R.
   3. Если k(x) — кривизна параболы y = ax2 , a > 0, то
k(0) = 2a, lim k(x) = 0.
           x→±0
   4. Если k(x) — кривизна эллипса x = a cos t, y = b sin t,
a > b, то
                                 a                     b
               max k(t) = 2 , min k(t) = 2 .
                 t              b     t               a
   5. Если гладкая кривая Γ = {~r(t),t ∈ ∆} дважды диф-
ференцируема, то ее эволюта задается векторной функцией
                         |~r 0 |2
            ~ = ~r + 00 0 2 [~r 0 ,[~r00 ,~r 0 ]], t ∈ ∆.
            ρ
                     |[~r ,~r ]|
   6. Эволюта гладкой дважды дифференцируемой кривой
Γ = {x(t),y(t),t ∈ ∆} задается уравнениями:
                   
                                   02       02
                   ξ = x − x +y
                                                 y0,
                           x0 y 00 − x00 y 0
                               02     02
                   η = y + 0x 00 + y 00 0 x0 .
                  
                           xy −x y

Страницы