Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Яковлев Г.Н. - 26 стр.

§4                                                         27

   2. Если кривая Γ является суммой кривых Γ1 и Γ2 и
S,S1 ,S2 — длины этих кривых, то S = S1 + S2 .
   3. Существует неспрямляемая кривая Γ, которая явля-
ется графиком непрерывной функции y = f (x), x ∈ [a; b].
   4. Если кривая Γ = {~r(t),a 6 t 6 b} непрерывно диффе-
ренцируема и S — ее длина, то
                  S 6 (b − a) sup |~r 0 (t)|.
                                 t
    5. Пусть s(t) — переменная длина дуги кривой Γ =
= {~r(t),a 6 t 6 b}. Тогда если кривая Γ непрерывно диф-
ференцируема, то s(t) тоже непрерывно дифференцируема
и s0 (t) = |~r 0 (t)| ∀t ∈ [a; b].
    6. У любой гладкой кривой есть представление, в кото-
ром параметром является переменная длина дуги.
    7. Предел отношения длины дуги |∆s| к длине стягива-
ющей хорды |∆~r| при ∆s → 0 равен 1.
    8. Пусть векторная функция ~r = ~r(t), где t — время,
описывает движение точки M на плоскости или в простран-
стве. Тогда если |~r 0 (t)| 6= 0, то вектор скорости направлен
по касательной к траектории движения и его длина равна
скорости движения по траектории.

           § 4. Кривизна плоской кривой
   Любая гладкая кривая Γ имеет представление ~r = ~r(s),
в котором параметром является переменная длина дуги s.
Тогда ~e = ~r 0 (s) — единичный вектор касательной к Γ в
точке M с радиус-вектором ~r(s).
   Скорость вращения касательной к кривой Γ в точке M
относительно s, т.е. k(s) = |~e 0 (s)|, называется кривизной
кривой Γ в точке M .
   Если k(s) > 0, то единичный вектор ~n = e0 (s)/k(s) орто-
гонален вектору ~e и указывает направление его вращения.
Пара единичных векторов ~e,~n называется основным репе-
ром плоской кривой Γ.