ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
§5 29
В частности, если кривая Γ задана уравнением y = f(x),
то
ξ = x −
1 + y
02
y
00
y
0
, η = y +
1 + y
02
y
00
x
0
.
7. Нормаль к эвольвенте является касательной к эво-
люте.
8. Приращение длины дуги эволюты равно прираще-
нию радиуса кривизны эвольвенты.
9. Пусть векторная функция ~r = ~r(t), где t — время,
описывает движение точки M. Тогда
d
2
~r
dt
2
=
dv
dt
~e +
v
2
R
~n,
где v — линейная скорость, а R — радиус кривизны годо-
графа в момент времени t.
10. Найти эволюты следующих кривых:
а) параболы ax
2
, a > 0;
б) эллипса x = a cos t, y = b sin t.
в) астроиды x
2/3
+ y
2/3
= a
2/3
.
§ 5. Кривизна и кручение пространственной
кривой
Пусть дважды дифференцируемая кривая Γ имеет пред-
ставление ~r = ~r (s), где s — переменная длина дуги. Как
и на плоскости, величина k = |~r
00
(s)| называется кривиз-
ной кривой Γ в точке M с радиус-вектором ~r(s). Если,
кроме того, k 6= 0, то единичный вектор ~n, сонаправлен-
ный с ~r
00
(s), называется вектором главной нормали кривой
Γ в точке M.
Плоскость, проходящая через касательную и через глав-
ную нормаль кривой Γ в точке M , называется с оприкасаю-
щейся плоскостью кривой Γ в точке M.
Если ~e = ~r
0
(s), а ~n — вектор главной нормали, то еди-
ничный вектор
~
b = [~e,~n] называется бинормалью кривой Γ,
а тройка единичных векторов ~e,~n,
~
b — основным репером
(или трехгранником) кривой Γ.
§5 29
В частности, если кривая Γ задана уравнением y = f (x),
то
1 + y 02 0 1 + y 02 0
ξ =x− y , η = y + x.
y 00 y 00
7. Нормаль к эвольвенте является касательной к эво-
люте.
8. Приращение длины дуги эволюты равно прираще-
нию радиуса кривизны эвольвенты.
9. Пусть векторная функция ~r = ~r(t), где t — время,
описывает движение точки M . Тогда
d2~r dv v2
= ~
e + ~n,
dt2 dt R
где v — линейная скорость, а R — радиус кривизны годо-
графа в момент времени t.
10. Найти эволюты следующих кривых:
а) параболы ax2 , a > 0;
б) эллипса x = a cos t, y = b sin t.
в) астроиды x2/3 + y 2/3 = a2/3 .
§ 5. Кривизна и кручение пространственной
кривой
Пусть дважды дифференцируемая кривая Γ имеет пред-
ставление ~r = ~r(s), где s — переменная длина дуги. Как
и на плоскости, величина k = |~r00 (s)| называется кривиз-
ной кривой Γ в точке M с радиус-вектором ~r(s). Если,
кроме того, k 6= 0, то единичный вектор ~n, сонаправлен-
ный с ~r00 (s), называется вектором главной нормали кривой
Γ в точке M .
Плоскость, проходящая через касательную и через глав-
ную нормаль кривой Γ в точке M , называется соприкасаю-
щейся плоскостью кривой Γ в точке M .
Если ~e = ~r 0 (s), а ~n — вектор главной нормали, то еди-
ничный вектор ~b = [~e,~n] называется бинормалью кривой Γ,
а тройка единичных векторов ~e,~n,~b — основным репером
(или трехгранником) кривой Γ.
