Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Яковлев Г.Н. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

30 Глава 3. Векторные функции и кривые
Число κ(s) такое, что
~
b
0
(s) = −κ(s)~n(s), называется кру-
чением кривой Γ в рассматриваемой точке.
Доказать следующие утверждения.
1. Если гладкая кривая Γ = {~r(t),t ∈ ∆} дважды диф-
ференцируема, то соприкасающаяся плоскость к Γ в точке
M
0
с радиус-вектором ~r
0
= ~r(t
0
) имеет уравнение (~r −
−~r
0
,~r
0
0
~r
00
0
) = 0, где ~r
0
0
= ~r
0
(t
0
), ~r
00
0
= ~r
00
(t
0
).
2. Если ~e,~n,
~
b — основной репер гладкой трижды диф-
ференцируемой кривой Γ, то
d~e
ds
= k~n,
d~n
ds
= −k~e + κ
~
b,
d
~
b
ds
= −κ~n,
где s — переменная длина дуги кривой Γ, а k и κ — кри-
визна и кручение кривой Γ в рассматриваемой точке.
3. Если гладкая трижды дифференцируемая кривая
Γ = {~r(t),t ∈ ∆} такая, что |[~r
0
~r
00
]|, то ее кручение κ вычи-
сляется по формуле
κ =
(~r
0
,~r
00
,~r
000
)
|[~r
0
,~r
00
]|
2
.
4. Если кручение кривой тождественно равно нулю, то
кривая плоская.
5. Если кривизна кривой тождественно равна нулю, то
она является частью прямой.
6. Найти кривизну и кручение винтовой линии:
x = R cos ωt, y = R sin ωt, z = ht,
где R > 0, ω 6= 0, h 6= 0.
30                        Глава 3. Векторные функции и кривые


   Число κ(s) такое, что ~b0 (s) = −κ(s)~n(s), называется кру-
чением кривой Γ в рассматриваемой точке.

     Доказать следующие утверждения.
    1. Если гладкая кривая Γ = {~r(t),t ∈ ∆} дважды диф-
ференцируема, то соприкасающаяся плоскость к Γ в точке
M0 с радиус-вектором ~r0 = ~r(t0 ) имеет уравнение (~r −
− ~r0 ,~r00 ~r000 ) = 0, где ~r00 = ~r 0 (t0 ), ~r000 = ~r00 (t0 ).
    2. Если ~e,~n,~b — основной репер гладкой трижды диф-
ференцируемой кривой              Γ, то
                                   d~e
                                 
                                 
                                  ds
                                          = k~n,
                                 
                                   d~n
                                 
                                   ds
                                          = −k~e + κ~b,
                                 
                                     ~
                                  db = −κ~n,
                                 
                                 
                                 
                                   ds
где s — переменная длина дуги кривой Γ, а k и κ — кри-
визна и кручение кривой Γ в рассматриваемой точке.
   3. Если гладкая трижды дифференцируемая кривая
Γ = {~r(t),t ∈ ∆} такая, что |[~r 0~r00 ]|, то ее кручение κ вычи-
сляется по формуле
                            (~r 0 ,~r00 ,~r000 )
                         κ=                      .
                             |[~r 0 ,~r00 ]|2
   4. Если кручение кривой тождественно равно нулю, то
кривая плоская.
   5. Если кривизна кривой тождественно равна нулю, то
она является частью прямой.
   6. Найти кривизну и кручение винтовой линии:
              x = R cos ωt, y = R sin ωt, z = ht,
где R > 0, ω 6= 0, h 6= 0.

Страницы