Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Яковлев Г.Н. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§1 23
нялось условие:
∀ε > 0 ∃N
ε
: ∀n > N
ε
|~a
n
−~a| < ε.
2. Вектор ~a является пределом последовательности {~a
n
}
тогда и только тогда, когда его координаты являются пре-
делами последовательностей из соответствующих коорди-
нат векторов.
3. Если α
n
→ α, ~a
n
→ ~a при n → ∞, то
lim
n→∞
α
n
~a
n
= α~a.
4. Если lim
n→∞
~a
n
= ~a, то lim
n→∞
|~a
n
| = |~a|. Справедливо ли
обратное утверждение?
5. Если ~a
n
→ ~a,
~
b
n
→
~
b при n → ∞, то
lim
n→∞
(~a
n
±
~
b
n
) = ~a ±
~
b,
lim
n→∞
(~a
n
,
~
b
n
) = (~a,
~
b),
lim
n→∞
[~a
n
,
~
b
n
] = [~a,
~
b].
6. Длина непрерывного вектора, сумма непрерывных
векторов и любое произведение непрерывных функций не-
прерывны (в точке или на некотором множестве).
7. Если числовая функция y = ϕ(x) непрерывна в точке
x
0
, а векторная функция ~r(y) непрерывна в точке y
0
=
= ϕ(x
0
), то сложная функция ~r(ϕ(x)) непрерывна в точке
x
0
.
8. Векторная функция ~r(t) дифференцируема в точке t
0
тогда и только тогда, когда в этой точке дифференцируемы
координаты вектора ~r(t), причем координатами вектора-
производной являются производные координат вектора ~r(t).
9. Если функции ~a(t) и
~
b(t) диффе ренцируемы в точке
t
0
, то в этой точке
(~a ±
~
b)
0
= ~a
0
±
~
b
0
,
(~a,
~
b)
0
= (~a
0
,
~
b) + (~a,
~
b
0
),
[~a,
~
b]
0
= [~a
0
,
~
b] + [~a,
~
b
0
].
§1                                                                 23

нялось условие:
           ∀ε > 0 ∃Nε : ∀n > Nε                  |~an − ~a| < ε.
   2. Вектор ~a является пределом последовательности {~an }
тогда и только тогда, когда его координаты являются пре-
делами последовательностей из соответствующих коорди-
нат векторов.
     3. Если αn → α, ~an → ~a при n → ∞, то
                        lim αn~an = α~a.
                           n→∞

   4. Если lim ~an = ~a, то lim |~an | = |~a|. Справедливо ли
            n→∞               n→∞
обратное утверждение?
   5. Если ~an → ~a, ~bn → ~b при n → ∞, то
                    lim (~an ± ~bn ) = ~a ± ~b,
                       n→∞
                         lim (~an ,~bn ) = (~a,~b),
                        n→∞
                          lim [~an ,~bn ] = [~a,~b].
                         n→∞
   6. Длина непрерывного вектора, сумма непрерывных
векторов и любое произведение непрерывных функций не-
прерывны (в точке или на некотором множестве).
     7. Если числовая функция y = ϕ(x) непрерывна в точке
x0 , а векторная функция ~r(y) непрерывна в точке y0 =
= ϕ(x0 ), то сложная функция ~r(ϕ(x)) непрерывна в точке
x0 .
   8. Векторная функция ~r(t) дифференцируема в точке t0
тогда и только тогда, когда в этой точке дифференцируемы
координаты вектора ~r(t), причем координатами вектора-
производной являются производные координат вектора ~r(t).
   9. Если функции ~a(t) и ~b(t) дифференцируемы в точке
t0 , то в этой точке
                           (~a ± ~b)0 = ~a0 ± ~b0 ,
                       (~a,~b)0 = (~a0 ,~b) + (~a,~b0 ),
                        [~a,~b]0 = [~a0 ,~b] + [~a,~b0 ].

Страницы