Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Яковлев Г.Н. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§3 Экстремумы и точки перегиба 17
7. Разложить по формуле Маклорена до o(x
2n+1
) функ-
ции:
cos 2x, sin
2
x cos x,
1
x
4
− 2x
2
+ 1
,
1
x
4
+ x
2
− 2
.
8. Разложить по формуле Маклорена до o(x
2n
) функ-
ции:
sin x · cos 2x, ln (x +
p
x
2
+ 1).
9. Найти
lim
x→0
2tg x
x + sin x
1
1−cos x
.
10. Получить асимптотические разложения по степе-
ням x функций:
а) cos
3
√
x до o(x
3
) при x → 0.
б) ln (1 +
1
x
) до o(x
n
) при x → ±∞.
Можно ли утверждать, что полученные разложения —
это формулы Тейлора с остаточным членом в форме Пеано?
§ 3. Условия монотонности и выпуклости
дифференцируемых функций. Экстремумы
и точки перегиба
Дифференцируемая на интервале (a; b) функция f(x) по-
стоянна на (a; b) тогда и только тогда, когда f
0
(x) = 0 на
(a; b). Она возрастает (убывает) на (a; b) тогда и только то-
гда, когда f
0
(x) > 0 (6 0) на (a; b). Если же f
0
(x) > 0 (< 0)
на (a; b), то f(x) строго возрастает (убывает) на (a; b).
Точка x
0
называется стационарной точкой функции
f(x), если f(x) дифференцируема в точке x
0
и f
0
(x
0
) =
= 0. Если же f
0
(x
0
) > 0 (< 0), то x
0
называется точкой
возрастания (убывания) функции f(x).
Из теоремы Ферма следует, что точки экстремума функ-
ции следует искать среди ее стационарных точек и точек,
в которых нет производной.
Доказать следующие утверждения.
§ 3 Экстремумы и точки перегиба                               17


   7. Разложить по формуле Маклорена до o(x2n+1 ) функ-
ции:
                                     1             1
        cos 2x, sin2 x cos x, 4               , 4    .
                              x − 2x + 1 x + x2 − 2
                                       2

   8. Разложить по формуле Маклорена до o(x2n ) функ-
ции:                                     p
                sin x · cos 2x, ln (x + x2 + 1).
   9. Найти                           1
                              2tg x      1−cos x
                     lim                         .
                    x→0 x + sin x
   10. Получить асимптотические разложения по степе-
ням x функций:
          √
   а) cos 3 x до o(x3 ) при x → 0.
              1
   б) ln (1 + x ) до o(xn ) при x → ±∞.
   Можно ли утверждать, что полученные разложения —
это формулы Тейлора с остаточным членом в форме Пеано?

    § 3. Условия монотонности и выпуклости
   дифференцируемых функций. Экстремумы
                и точки перегиба
    Дифференцируемая на интервале (a; b) функция f (x) по-
стоянна на (a; b) тогда и только тогда, когда f 0 (x) = 0 на
(a; b). Она возрастает (убывает) на (a; b) тогда и только то-
гда, когда f 0 (x) > 0 (6 0) на (a; b). Если же f 0 (x) > 0 (< 0)
на (a; b), то f (x) строго возрастает (убывает) на (a; b).
    Точка x0 называется стационарной точкой функции
f (x), если f (x) дифференцируема в точке x0 и f 0 (x0 ) =
= 0. Если же f 0 (x0 ) > 0 (< 0), то x0 называется точкой
возрастания (убывания) функции f (x).
    Из теоремы Ферма следует, что точки экстремума функ-
ции следует искать среди ее стационарных точек и точек,
в которых нет производной.

   Доказать следующие утверждения.

Страницы