Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Яковлев Г.Н. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§2 15
3. lim
x→0
sin ax
sin bx
. 7. lim
x→0
e
−1/x
2
x
100
.
4. lim
x→0
cos ax
cos bx
. 8. lim
x→1
x
α
− 1
x
β
− 1
.
5. lim
x→0
ln(sin ax)
ln(sin bx)
. 9. lim
x→a
x
a
− a
x
a
x
− a
a
.
6. lim
x→0
ln(cos ax)
ln(cos bx)
. 10. lim
x→a
x
a
− a
x
x
a
− a
a
.
Неопределенности типа 0 · ∞, ∞ − ∞, 1
∞
, 0
0
и т.п. пу-
тем алге браических преобразований и логарифмирования
приводятся к неопределенностям двух основных видов 0/0
и ∞/∞.
Вычислить следующие пределы:
11. lim
x→+0
x
x
.
12. lim
x→1−0
ln x · ln (1 − x).
13. lim
x→1
(
α
1 − x
α
−
β
1 − x
β
).
14. lim
x→0
(
sin x
x
)
1/x
2
.
15. Исследовать на дифференцируемость функцию
f(x) = exp(−
1
x
2
), x 6= 0, и f(0) = 0.
16. Найти асимптоту графика функции
y =
x
1+x
(1 + x)
x
при x → +∞.
17. Доказать, что если функция f (x) имеет вторую про-
изводную, то
f
00
(x) = lim
h→0
f(x + h) + f(x − h) − 2f (x)
h
2
.
§ 2. Асимптотические разложения
по формуле Тейлора
В предыдущей главе ужу рассматривалась формула
Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
§2                                                        15

                                                  2
                 sin ax                      e−1/x
     3. lim sin bx .                  7. lim    100 .
        x→0                              x→0 x
                                               α
                 cos ax                      x −1
     4. lim cos bx .                  8. lim β      .
        x→0                              x→1 x − 1
                 ln(sin ax)                  xa − ax
     5. lim ln(sin bx) .              9. lim ax − aa .
        x→0                              x→a
            ln(cos ax)                         xa − ax
     6. lim ln(cos bx) .              10. lim xa − aa .
           x→0                             x→a
   Неопределенности типа 0 · ∞, ∞ − ∞, 1∞ , 00 и т.п. пу-
тем алгебраических преобразований и логарифмирования
приводятся к неопределенностям двух основных видов 0/0
и ∞/∞.

     Вычислить следующие пределы:
     11. lim xx .
           x→+0
     12.    lim ln x · ln (1 − x).
           x→1−0
                     α            β
     13. lim ( 1 − xα −        ).
         x→1            1 − xβ
                  sin x       2
   14. lim ( x )1/x .
       x→0
   15. Исследовать на дифференцируемость функцию
                            1
            f (x) = exp(− 2 ), x 6= 0, и f (0) = 0.
                            x
   16. Найти асимптоту графика функции
                                 x1+x
                          y=
                               (1 + x)x
при x → +∞.
   17. Доказать, что если функция f (x) имеет вторую про-
изводную, то
                        f (x + h) + f (x − h) − 2f (x)
         f 00 (x) = lim                                .
                    h→0               h2

            § 2. Асимптотические разложения
                   по формуле Тейлора
   В предыдущей главе ужу рассматривалась формула
Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

Страницы