Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Яковлев Г.Н. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§3 7
§ 3. Теоремы о среднем для дифференцируемых
функций
Для данной функции f точка x
0
∈ D
f
называется точкой
максимума (минимума), если
∃O(x
0
) : ∀x ∈ O(x
0
)∩D
f
f(x) 6 f(x
0
)( соотв., f(x) > f(x
0
)).
Точки максимума и минимума функции называются ее точ-
ками экстремума, а ее значения в этих точках — экстре-
мальными значениями.
Если функция f(x) дифференцируема в точке x
0
и x
0
— ее точка экстремума, то, очевидно, f
0
(x
0
) = 0 (теорема
Ферма).
Отсюда следует, что если f(x) непрерывна на отрезке
[a; b], дифференцируема на интервале (a; b) и, кроме того,
f(a) = f(b), то
∃ξ ∈ (a; b) : f
0
(ξ) = 0
(теорема Ролля).
А если f(a) 6= f(b), то
∃ξ ∈ (a; b) : f(b) − f(a) = f
0
(ξ)(b − a)
(теорема Лаг ранжа).
Обобщением этих теорем является следующее утвер-
ждение:
Если функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a; b],
дифференцируемы на интервале (a; b) и g
0
(x) 6= 0 на (a; b),
то
∃ξ ∈ (a; b) :
f(b) − f(a)
g(b) − g(a)
=
f
0
(ξ)
g
0
(ξ)
(теорема Коши).
Доказать следующие утверждения:
1. Если функция непрерывна на некотором промежутке
и всюду, кроме конечного числа точек, имеет равную нулю
производную, то эта функция постоянна на рассматривае-
мом промежутке.
§3                                                             7


§ 3. Теоремы о среднем для дифференцируемых
                   функций
     Для данной функции f точка x0 ∈ Df называется точкой
максимума (минимума), если
∃O(x0 ) : ∀x ∈ O(x0 )∩Df f (x) 6 f (x0 )( соотв., f (x) > f (x0 )).
Точки максимума и минимума функции называются ее точ-
ками экстремума, а ее значения в этих точках — экстре-
мальными значениями.
     Если функция f (x) дифференцируема в точке x0 и x0
— ее точка экстремума, то, очевидно, f 0 (x0 ) = 0 (теорема
Ферма).
     Отсюда следует, что если f (x) непрерывна на отрезке
[a; b], дифференцируема на интервале (a; b) и, кроме того,
f (a) = f (b), то
                       ∃ξ ∈ (a; b) : f 0 (ξ) = 0
(теорема Ролля).
     А если f (a) 6= f (b), то
             ∃ξ ∈ (a; b) : f (b) − f (a) = f 0 (ξ)(b − a)
(теорема Лагранжа).
     Обобщением этих теорем является следующее утвер-
ждение:
     Если функции f (x) и g(x) непрерывны на отрезке [a; b],
дифференцируемы на интервале (a; b) и g 0 (x) 6= 0 на (a; b),
то
                               f (b) − f (a)     f 0 (ξ)
                ∃ξ ∈ (a; b) :                 = 0
                               g(b) − g(a)       g (ξ)
(теорема Коши).

     Доказать следующие утверждения:

   1. Если функция непрерывна на некотором промежутке
и всюду, кроме конечного числа точек, имеет равную нулю
производную, то эта функция постоянна на рассматривае-
мом промежутке.

Страницы