Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Яковлев Г.Н. - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§2 5
Как понимать эти формулы? В частности, что обозна-
чает x в разных частях равенства?
6. Для того чтобы функция f(x), определенная в окрест-
ности точки x
0
, была дифференцируема в точке x
0
, необхо-
димо и достаточно, чтобы выполнялось условие:
∃A : f(x) = f(x
0
) + A(x − x
0
) + o(∆x)
при x → x
0
.
7. Функция y = f(x), определенная в окрестности точки
x
0
и непрерывная в точке x
0
, имеет касательную в точке x
0
тогда и только тогда, когда она в точке x
0
имеет производ-
ную, конечную или бесконечную, равную +∞ или −∞.
8. Какие точки графика функции y = f(x) называются
точками возврата?
9. Что называется второй производной функции f в за-
данной точке? Как определяется производная n-го порядка?
10. Что называется вторым дифференциалом функции
f в заданной точке? Как определяется дифференциал n-го
порядка?
11. При каких значениях α функцию f(x) = |x|
α
sin
1
x
можно доопределить в точке x = 0 так, чтобы она в этой
точке имела производную?
12. Доказать, что если дифференцируемая функция
f(x), x ∈ (−l; l), четная (нечетная), то f
0
(x) нечетная (чет-
ная).
13. Доказать, что если дифференцируемая функция
f(x) периодическая, то f
0
(x) тоже периодическая.
§ 2. Правила дифференцирования
1. При каких условиях для функций u(x) и v(x) в точке
x
0
справедливы формулы
d(u ± v) = du ± dv, d(uv) = vdu + udv,
d(
u
v
) =
vdu − udv
v
2
?
§2                                                            5

   Как понимать эти формулы? В частности, что обозна-
чает x в разных частях равенства?
   6. Для того чтобы функция f (x), определенная в окрест-
ности точки x0 , была дифференцируема в точке x0 , необхо-
димо и достаточно, чтобы выполнялось условие:
          ∃A : f (x) = f (x0 ) + A(x − x0 ) + o(∆x)
при x → x0 .
   7. Функция y = f (x), определенная в окрестности точки
x0 и непрерывная в точке x0 , имеет касательную в точке x0
тогда и только тогда, когда она в точке x0 имеет производ-
ную, конечную или бесконечную, равную +∞ или −∞.
   8. Какие точки графика функции y = f (x) называются
точками возврата?
   9. Что называется второй производной функции f в за-
данной точке? Как определяется производная n-го порядка?
   10. Что называется вторым дифференциалом функции
f в заданной точке? Как определяется дифференциал n-го
порядка?
                                                              1
    11. При каких значениях α функцию f (x) = |x|α sin x
можно доопределить в точке x = 0 так, чтобы она в этой
точке имела производную?
    12. Доказать, что если дифференцируемая функция
f (x), x ∈ (−l; l), четная (нечетная), то f 0 (x) нечетная (чет-
ная).
    13. Доказать, что если дифференцируемая функция
f (x) периодическая, то f 0 (x) тоже периодическая.

         § 2. Правила дифференцирования
   1. При каких условиях для функций u(x) и v(x) в точке
x0 справедливы формулы
         d(u ± v) = du ± dv, d(uv) = vdu + udv,
                     u     vdu − udv
                   d( ) =            ?
                      v        v2

Страницы