ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
§1. Метрические пространства 3
§ 1. Метрические пространства
1.1. Определения и примеры
Многие важные понятия и утверждения математического
анализа, в частности, связанные с пределами и непрерывно-
стью, опираются на понятие расстояния. Причём сами опреде-
ления этих понятий, а также формулировки и доказательства
соответствующих утверждений во многих случаях не зависят
от конкретного способа задания расстояния. В них использу-
ются лишь основные свойства расстояния: неотрицательность,
симметрия и неравенство треугольника. Формализация этих
свойств расстояния приводит к понятию метрического про-
странства.
Определение 1. Говорят, что на множестве M задана ме-
трика, если на прямом произведении M × M задана функция
ρ : M × M → R,
обладающая свойствами:
1) ρ(x,y) > 0 ∀x,y ∈ M;
2) ρ(x,y) = ρ(y,x) ∀x,y ∈ M;
3) ρ(x,y) 6 ρ(x,z) + ρ(z,y) ∀x,y,z ∈ M ;
4) ρ(x,y) = 0 ⇔ x = y ∀x,y ∈ M .
Эти свойства называются аксиомами метрики (или рас-
стояния). В частности, свойство 3 называется неравенством
треугольника.
Определение 2. Множество, на котором задана некото-
рая метрика, называется метрическим пространством. Эле-
менты метрического пространства называются точками.
Метрическое пространство, точками которого являются
элементы множества M и на котором задана метрика ρ, бу-
дем обозначать {M; ρ}. Заметим, что на одном и том же мно-
жестве можно задавать разные метрики, в результате получа-
§ 1. Метрические пространства 3
§ 1. Метрические пространства
1.1. Определения и примеры
Многие важные понятия и утверждения математического
анализа, в частности, связанные с пределами и непрерывно-
стью, опираются на понятие расстояния. Причём сами опреде-
ления этих понятий, а также формулировки и доказательства
соответствующих утверждений во многих случаях не зависят
от конкретного способа задания расстояния. В них использу-
ются лишь основные свойства расстояния: неотрицательность,
симметрия и неравенство треугольника. Формализация этих
свойств расстояния приводит к понятию метрического про-
странства.
Определение 1. Говорят, что на множестве M задана ме-
трика, если на прямом произведении M × M задана функция
ρ : M × M → R,
обладающая свойствами:
1) ρ(x,y) > 0 ∀ x,y ∈ M ;
2) ρ(x,y) = ρ(y,x) ∀ x,y ∈ M ;
3) ρ(x,y) 6 ρ(x,z) + ρ(z,y) ∀ x,y,z ∈ M ;
4) ρ(x,y) = 0 ⇔ x = y ∀ x,y ∈ M .
Эти свойства называются аксиомами метрики (или рас-
стояния). В частности, свойство 3 называется неравенством
треугольника.
Определение 2. Множество, на котором задана некото-
рая метрика, называется метрическим пространством. Эле-
менты метрического пространства называются точками.
Метрическое пространство, точками которого являются
элементы множества M и на котором задана метрика ρ, бу-
дем обозначать {M ; ρ}. Заметим, что на одном и том же мно-
жестве можно задавать разные метрики, в результате получа-
