Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 5 стр.

               § 1. Метрические пространства               5

лишь конечное число точек и даже только одну точку множе-
ства M .
   В тех случаях, когда не возникает неясностей, метрическое
пространство {M ; ρ} обозначают просто M . В этом смысле
говорят, что любое подмножество метрического пространства
является метрическим пространством (с той же метрикой).
   Очевидно, метрическое пространство Rn является подпро-
странством метрического пространства Cn , в котором метрика
определена по формуле (1). А пространство Qn , элементами
которого являются всевозможные упорядоченные совокупно-
сти из n рациональных точек и в котором метрика определена
по формуле (1), является подпространством пространства Rn .
Аналогичные утверждения справедливы и в том случае, когда
метрика определена по формулам (2) или (3).
   В метрическом пространстве естественным образом опреде-
ляются ε-окрестность точки, предел последовательности, пре-
дельная точка множества, открытое множество и т.д. Приве-
дём для примера некоторые определения.
   Определение 4. Для любой точки x0 метрического про-
странства {M ; ρ} и любого ε > 0 множество всех точек x ∈
∈ M , удовлетворяющих неравенству ρ(x,x0 ) < ε, называется
ε-окрестностью точки x0 и обозначается Oε (x0 ).
  Для любого r > 0 множество Or (x0 ) называют ещё откры-
тым шаром радиуса r с центром в точке x0 .
   Определение 5. Точка x0 метрического пространства M
называется пределом последовательности {xn } точек из M ,
если
          ∀ ε > 0 ∃ Nε : ∀ n > Nε xn ∈ Oε (x0 ).      (4)
   Очевидно, условие (4) равносильно условию
                      lim ρ(xn ,x0 ) = 0.                (5)
                     n→∞

   Если выполнено условие (4) (или (5)), то будем говорить,