Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 7 стр.

                § 1. Метрические пространства                7

   Очевидно, замыкание множества G получается присоеди-
нением к G всех его предельных точек.
   Определение 8. Точка x0 ∈ M называется граничной
точкой множества G ⊂ M , если в любой ε-окрестности точки
x0 имеется хотя бы по одной точке как из G, так и из M \G.
   Множество всех граничных точек множества G называется
границей множества G и обозначается ∂G.
   Как обычно доказывается, что граница любого множества
G ⊂ M является замкнутым множеством.
   Легко видеть, что для любого множества G ⊂ M справед-
ливо равенство
                       G = G ∪ ∂G.
   Определение 9. Точка x0 множества G ⊂ M называется
внутренней, если существует такое δ > 0, что Oδ (x0 ) ⊂ G.
Множество G называется открытым, если все его точки вну-
тренние.
   Очевидно, множество всех точек метрического простран-
ства является одновременно открытым и замкнутым. По опре-
делению считают, что пустое множество тоже одновременно
открытое и замкнутое.
   Для примера рассмотрим метрическое пространство точек
некоторого числового промежутка ∆ с естественной метрикой.
В этом пространстве множество ∆ является одновременно и
открытым, и замкнутым. В частности, если, например, ∆ =
= (−1; 2), то множество точек интервала (0; 1) открыто, его за-
мыкание равно отрезку [0; 1]. Множество (0; 2) тоже открыто,
но его замыкание равно промежутку [0; 2).
   В конце приведём несколько свойств открытых и замкну-
тых множеств метрического пространства.
   Лемма 1. Множество G ⊂ M открыто тогда и только
тогда, когда множество F = M \G замкнуто.