Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§1. Метрические пространства 9
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть множество G есть пересече-
ние открытых множеств G
1
, . . . ,G
n
. Если G пусто, то оно от-
крыто. Пусть x
0
∈ G. Тогда x
0
∈ G
j
при любом j = 1,2, . . . ,n,
а так как G
j
открытые, то
∀j ∃r
j
> 0 : O
r
j
(x
0
) ⊂ G
j
.
Очевидно, O
r
(x
0
) ⊂ G, где r = min
j
r
j
.
Второе утверждение следует из леммы 1.
Лемма 3 доказана.
1.2. Полные и неполные метрические пространства
Как и для точек на плоскости и в пространстве, последова-
тельность {x
n
} точек метрического пространства {M; ρ} назы-
вается фундаментальной (или последовательностью Коши),
если она удовлетворяет условию:
∀ε > 0 ∃N
ε
: ∀n,m > N
ε
ρ(x
n
,x
m
) < ε. (1)
Это условие, как и раньше, будем называть условием
Коши.
Очевидно, если последовательность {x
n
} точек метриче-
ского пространства M имеет предел в этом пространстве, т.е.
если
∃x
0
∈ M : lim
n→∞
ρ(x
n
,x
0
) = 0, (2)
то эта последовательность удовлетворяет условию Коши. Дей-
ствительно, если выполнено условие (2), то
∀ε > 0 ∃N
ε
: ∀n > N
ε
ρ(x
n
,x
0
) <
ε
2
,
и поэтому
∀n,m > N
ε
ρ(x
n
,x
m
) 6 ρ(x
n
,x
0
) + ρ(x
0
,x
m
) < ε.
В общем с лучае обратное утверждение является неверным.
Например, числовое множество
M =
1,
1
2
,
1
3
, . . . ,
1
n
, . . .
(3)
                 § 1. Метрические пространства                9

   Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть множество G есть пересече-
ние открытых множеств G1 , . . . ,Gn . Если G пусто, то оно от-
крыто. Пусть x0 ∈ G. Тогда x0 ∈ Gj при любом j = 1,2, . . . ,n,
а так как Gj открытые, то
                 ∀j   ∃ rj > 0 :   Orj (x0 ) ⊂ Gj .
Очевидно, Or (x0 ) ⊂ G, где r = min rj .
                                   j
   Второе утверждение следует из леммы 1.
   Лемма 3 доказана.
1.2. Полные и неполные метрические пространства
   Как и для точек на плоскости и в пространстве, последова-
тельность {xn } точек метрического пространства {M ; ρ} назы-
вается фундаментальной (или последовательностью Коши),
если она удовлетворяет условию:
          ∀ ε > 0 ∃ Nε :    ∀ n,m > Nε     ρ(xn ,xm ) < ε.   (1)
    Это условие, как и раньше, будем называть условием
Коши.
    Очевидно, если последовательность {xn } точек метриче-
ского пространства M имеет предел в этом пространстве, т.е.
если
                 ∃ x0 ∈ M :  lim ρ(xn ,x0 ) = 0,            (2)
                            n→∞
то эта последовательность удовлетворяет условию Коши. Дей-
ствительно, если выполнено условие (2), то
                                                    ε
           ∀ ε > 0 ∃ Nε : ∀ n > Nε ρ(xn ,x0 ) < ,
                                                    2
и поэтому
       ∀ n,m > Nε ρ(xn ,xm ) 6 ρ(xn ,x0 ) + ρ(x0 ,xm ) < ε.
   В общем случае обратное утверждение является неверным.
Например, числовое множество
                                           
                         1 1       1
                 M = 1, , , . . . , , . . .            (3)
                         2 3       n

Страницы