Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 10 стр.

10     Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства

с естественной метрикой является метрическим простран-
ством. В нём последовательность
                               1
                        xn =     ,   n ∈ N,                     (4)
                               n
является фундаментальной, но не имеет предела в M . Легко
видеть, что если к множеству (3) присоединить точку x0 = 0,
то в новом метрическом пространстве последовательность (4)
имеет предел. Более того, в этом пространстве любая фунда-
ментальная последовательность имеет предел. (Докажите это
утверждение!)
     Определение 1. Метрическое пространство называется
полным, если любая фундаментальная последовательность его
точек имеет предел в этом пространстве. В противном случае
метрическое пространство называется неполным.
     Как мы уже знаем, пространство Rn является полным, а
пространство Qn является неполным. Приведём ещё несколько
примеров полных и неполных метрических пространств.
     Пример 1. Пространство C([a; b]) непрерывных на отрезке
[a; b] функций с метрикой
                   ρ(f,g) = sup |f (x) − g(x)|                  (5)
                           x∈[a;b]

является полным.
    Действительно, если последовательность функций fn (x),
n ∈ N, фундаментальна относительно метрики (5), то при
любом фиксированном x ∈ [a; b] числовая последовательность
{fn (x)} является фундаментальной, и поэтому имеет предел (в
силу полноты пространства R). Обозначим этот предел f (x).
Очевидно fn (x) → f (x) при n → ∞ по метрике (5). Действи-
тельно, так как
      ∀ ε > 0 ∃ Nε :    ∀ n,m > Nε      |fn (x) − fm (x)| < ε
для любого x ∈ [a; b]. Зафиксируем x и перейдём к пределу при