Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

12 Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства
Отсюда следует, что при фиксированном k числовая после-
довательность {ξ
k
n
} сходится. Пусть
lim
n→∞
ξ
k
n
= ξ
k
.
Тогда, переходя к пределу при m → ∞ в неравенстве (7), по-
лучаем:
∀n > N
ε
ξ
k
n
− ξ
k
6 ε ∀k,
т.е.
∀n > N
ε
sup
k
ξ
k
n
− ξ
k
6 ε,
а это означает, что x
n
→ x = {ξ
k
} при n → ∞.
Осталось показать, что последовательность {ξ
k
} сходяща-
яся.
Для любых k, p и n имеем:
|ξ
k
− ξ
k+p
| 6 |ξ
k
− ξ
k
n
| + |ξ
k
n
− ξ
k+p
n
| +
+ |ξ
k+p
n
− ξ
k+p
| 6 2ρ(x,x
n
) + |ξ
k
n
− ξ
k+p
n
|. (8)
Из того, что x
n
→ x при n → ∞, следует, что
∀ε > 0 ∃n
ε
: ρ(x,x
n
) <
ε
3
,
а из сходимости последовательности x
n
ε
= {ξ
k
n
ε
} следует, что
∃K
ε
: ∀k > K
ε
, ∀p
ξ
k
n
ε
− ξ
k+p
n
ε
< ε/3,
и поэтому
∀k > K
ε
, ∀p
ξ
k
− ξ
k+p
< ε.
Следовательно, последовательность x = {ξ
k
} сходящаяся.
Рассмотрим ещё пример неполного метрического простран-
ства.
Пример 4. В множестве функций, определённых и непре-
рывных на отрезке [a; b], введём метрику по формуле
ρ(f; g) =
Z
b
a
|f(x) − g(x)|dx. (9)
Покажем, что это метрическое пространство является непол-
ным.
12      Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства

   Отсюда следует, что при фиксированном k числовая после-
довательность {ξnk } сходится. Пусть
                               lim ξ k    = ξk .
                              n→∞ n
Тогда, переходя к пределу при m → ∞ в неравенстве (7), по-
лучаем:
                ∀ n > Nε   ξnk − ξ k 6 ε ∀ k,
т.е.
                 ∀ n > Nε sup ξnk − ξ k 6 ε,
                                      k
а это означает, что xn → x = {ξ k } при n → ∞.
    Осталось показать, что последовательность {ξ k } сходяща-
яся.
    Для любых k, p и n имеем:
     |ξ k − ξ k+p | 6 |ξ k − ξnk | + |ξnk − ξnk+p | +
                     + |ξnk+p − ξ k+p | 6 2ρ(x,xn ) + |ξnk − ξnk+p |.   (8)
Из того, что xn → x при n → ∞, следует, что
                                         ε
                ∀ ε > 0 ∃ nε : ρ(x,xn ) < ,
                                         3
а из сходимости последовательности xnε = {ξnkε } следует, что
            ∃ Kε :      ∀ k > Kε , ∀ p      ξnkε − ξnk+p
                                                      ε
                                                         < ε/3,
и поэтому
                     ∀ k > Kε , ∀ p       ξ k − ξ k+p < ε.
Следовательно, последовательность x = {ξ k } сходящаяся.
   Рассмотрим ещё пример неполного метрического простран-
ства.
   Пример 4. В множестве функций, определённых и непре-
рывных на отрезке [a; b], введём метрику по формуле
                           Z b
               ρ(f ; g) =      |f (x) − g(x)| dx.   (9)
                                 a
Покажем, что это метрическое пространство является непол-
ным.

Страницы