Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§1. Метрические пространства 11
m → ∞, в пределе для любого n > N
ε
получим неравенство
|f
n
(x) − f(x)| 6 ε ∀x ∈ [a; b].
Следовательно, последовательность непрерывных на [a; b]
функций f
n
(x) равномерно сходится к функции f(x). Ранее
было доказано, что тогда функция f(x) тоже непрерывна на
[a; b]. Полнота пространства C([a; b]) доказана.
Пример 2. Пространство ограниченных на отрезке [a; b]
функций с метрикой (5) является полным.
Действительно, как и в примере 1, доказывается, что если
последовательность функций {f
n
(x)} фундаментальна относи-
тельно метрики (5), то она сходится к некоторой функции f(x),
x ∈ [a; b], в метрике (5). Тогда
∃n
1
: sup
x∈[a;b]
|f
n
1
(x) − f(x)| < 1,
и поэтому для любого x ∈ [a; b]
|f(x)| 6 |f(x) − f
n
1
(x)| + |f
n
1
(x)| 6 1 + sup
x∈[a;b]
|f
n
1
(x)|.
Следовательно, функция f(x) ограничена, что и доказывает
полноту рассматриваемого метрического пространства.
Аналогично доказывается, что множество всех ограничен-
ных числовых последовательностей с метрикой
ρ({ξ
k
},{η
k
}) = sup
k
ξ
k
− η
k
(6)
является полным метрическим пространством.
Пример 3. Множество всех сходящихся последователь-
ностей действительных чисел с метрикой (6) является полным
метрическим пространством.
Пусть последовательность {x
n
} элементов этого простран-
ства фундаментальна относительно метрики (6). Тогда если
x
n
= {ξ
k
n
}, то
∀ε > 0 ∃N
ε
: ∀n,m > N
ε
ξ
k
n
− ξ
k
m
< ε ∀k. (7)
                § 1. Метрические пространства                       11

m → ∞, в пределе для любого n > Nε получим неравенство
                 |fn (x) − f (x)| 6 ε       ∀ x ∈ [a; b].
Следовательно, последовательность непрерывных на [a; b]
функций fn (x) равномерно сходится к функции f (x). Ранее
было доказано, что тогда функция f (x) тоже непрерывна на
[a; b]. Полнота пространства C([a; b]) доказана.
   Пример 2. Пространство ограниченных на отрезке [a; b]
функций с метрикой (5) является полным.
   Действительно, как и в примере 1, доказывается, что если
последовательность функций {fn (x)} фундаментальна относи-
тельно метрики (5), то она сходится к некоторой функции f (x),
x ∈ [a; b], в метрике (5). Тогда
                 ∃ n1 : sup |fn1 (x) − f (x)| < 1,
                         x∈[a;b]

и поэтому для любого x ∈ [a; b]
    |f (x)| 6 |f (x) − fn1 (x)| + |fn1 (x)| 6 1 + sup |fn1 (x)| .
                                                      x∈[a;b]

Следовательно, функция f (x) ограничена, что и доказывает
полноту рассматриваемого метрического пространства.
   Аналогично доказывается, что множество всех ограничен-
ных числовых последовательностей с метрикой
                  ρ({ξ k },{η k }) = sup ξ k − η k                  (6)
                                        k
является полным метрическим пространством.
   Пример 3. Множество всех сходящихся последователь-
ностей действительных чисел с метрикой (6) является полным
метрическим пространством.
   Пусть последовательность {xn } элементов этого простран-
ства фундаментальна относительно метрики (6). Тогда если
xn = {ξnk }, то
      ∀ε > 0    ∃ Nε :     ∀ n,m > Nε         ξnk − ξm
                                                     k
                                                       < ε ∀ k.     (7)

Страницы