Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§1. Метрические пространства 13
Рассмотрим последовательность функций
f
n
(x) =
−1, если x ∈
h
−1; −
1
n
i
,
nx, если x ∈
h
−
1
n
;
1
n
i
,
+1, если x ∈
h
1
n
; 1
i
.
(10)
Очевидно, для любых n и p
Z
1
−1
|f
n+p
(x) − f
n
(x)| dx 6
6
Z
1
−1
|f
n+p
(x) − sgn x| dx +
Z
1
−1
|sgn x − f
n
(x)| dx =
=
1
n + p
+
1
n
,
и поэтому последовательность непрерывных функций (10) фун-
даментальна относительно метрики (9). Легко видеть, что в
этой метрике она сходится к разрывной функции f(x) = sgn x,
x ∈ [−1; 1]. Покажем, что в множестве непрерывных функций
предела нет.
Предположим противное: пусть последовательность (10) в
метрике (9) сходится к непрерывной функции g(x), x ∈ [−1; 1].
Тогда
Z
1
−1
|f(x) − g(x)|dx = 0,
причём функция F (x) = f (x)−g(x) непрерывна во всех точках
отрезка [−1; 1], кроме точки x = 0. Следовательно, g(x) =
= f (x) для любого x 6= 0 из отрезка [−1; 1], что противоречит
предположению, что g(x) непрерывна на [−1; 1].
Последнее утверждение является следствием следующей
простой леммы.
Лемма. Если функция f (x) абсолютно интегрируема на
промежутке ∆ и
Z
∆
|f(x)|dx = 0,
                     § 1. Метрические пространства                          13

   Рассмотрим последовательность функций
                    
                                           1
                                   h         i
                    
                    
                     −1, если x ∈   −1; − ni
                                               ,
                    
                    
                                       1 1
                                   h
            fn (x) = nx, если x ∈ − n ; n ,                                (10)
                    
                     +1, если x ∈ 1 ; 1 .
                    
                                  h     i
                    
                                     n
   Очевидно, для любых n и p
                 Z 1
                     |fn+p (x) − fn (x)| dx 6
                         −1
         Z   1                             Z   1
     6           |fn+p (x) − sgn x| dx +           |sgn x − fn (x)| dx =
         −1                                −1
                              1      1
                               =  + ,
                            n+p n
и поэтому последовательность непрерывных функций (10) фун-
даментальна относительно метрики (9). Легко видеть, что в
этой метрике она сходится к разрывной функции f (x) = sgn x,
x ∈ [−1; 1]. Покажем, что в множестве непрерывных функций
предела нет.
   Предположим противное: пусть последовательность (10) в
метрике (9) сходится к непрерывной функции g(x), x ∈ [−1; 1].
Тогда              Z 1
                       |f (x) − g(x)| dx = 0,
                          −1
причём функция F (x) = f (x) − g(x) непрерывна во всех точках
отрезка [−1; 1], кроме точки x = 0. Следовательно, g(x) =
= f (x) для любого x 6= 0 из отрезка [−1; 1], что противоречит
предположению, что g(x) непрерывна на [−1; 1].
   Последнее утверждение является следствием следующей
простой леммы.
   Лемма. Если функция f (x) абсолютно интегрируема на
промежутке ∆ и    Z
                    |f (x)| dx = 0,
                               ∆

Страницы