Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 15 стр.

               § 1. Метрические пространства                15

любому Fn . Существование общей точки доказано, единствен-
ность следует из того, что d(Fn ) → 0 при n → ∞.
   Теорема доказана.
   Сделаем ещё несколько замечаний о связи понятий полноты
и замкнутости.
   З а м е ч а н и е 1.   Если метрическое пространство
{M ; ρ} полное, а множество X ⊂ M замкнуто, то метрическое
пространство {X; ρ} полное.
   Действительно, любая фундаментальная последователь-
ность точек xn ∈ X, n ∈ N, сходится к некоторой точке x0 ∈ M ,
которая является точкой прикосновения множества X. А так
как X замкнуто, то x0 ∈ X.
   З а м е ч а н и е 2. Пусть заданы метрическое простран-
ство {M ; ρ} и некоторое множество X ⊂ M . Тогда если метри-
ческое пространство {X; ρ} полное, то множество X замкнуто.
   Действительно, пусть x0 — точка прикосновения множе-
ства X ⊂ M . Тогда для каждого n ∈ N существует точка
xn ∈ X, лежащая в шаре O1/n (x0 ). Очевидно, последователь-
ность {xn } сходится к точке x0 ∈ M , а так как пространство
{X; ρ} полное, то x0 ∈ X.
1.3. Теорема о пополнении метрических пространств
   Метрические пространства {M ; ρ} и {M 0 ; ρ0 } называются
изометричными, если существует взаимно однозначное ото-
бражение f множества M на множество M 0 такое, что для
любых x и y из M справедливо равенство
                    ρ(x,y) = ρ0 (f (x),f (y)).
   Очевидно, изометричные пространства обладают одинако-
выми свойствами (конечно, лишь теми свойствами, которые
связаны только с метрикой), и, следовательно, при изучении
метрических свойств изометричные пространства неразли-
чимы. Поэтому если метрическое пространство {M ; ρ} изоме-
трично некоторому подпространству метрического простран-