Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

14 Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства
то f(x) = 0 в любой точке x ∈ ∆, в которой функция f непре-
рывна.
Действительно, если функция f непрерывна в точке x
0
∈
∈ ∆ и f(x
0
) 6= 0, то существует окрестность O(x
0
) точки x
0
, в
которой |f(x)| > 0, и поэтому тогда
Z
∆
|f(x)|dx >
Z
∆∩O(x
0
)
|f(x)|dx > 0.
Другие примеры полных и неполных пространств будут
рассмотрены в дальнейшем. А сейчас для метрических про-
странств докажем одно обобщение теоремы о вложенных от-
резках.
Для любого множества E точек метрического пространства
{M; ρ} величина
sup
x,y∈E
ρ(x,y)
называется диаметром множества E и обозначается d(E).
Очевидно, множество E ограничено тогда и только тогда,
когда d(E) < ∞.
Определение 2. Последовательность {E
n
} непустых мно-
жес тв метрического пространства называется последователь-
ностью Коши, если
E
n+1
⊂ E
n
∀n, lim
n→∞
d(E) = 0.
Теорема. В полном метрическом пространстве всякая по-
следовательность Коши {F
n
} замкнутых множеств имеет одну
общую точку.
Д о к а з а т е л ь с т в о. В каждом F
n
выберем по точке x
n
.
Легко видеть, что последовательность {x
n
} фундаментальная,
а так как пространство полное, то она сходится к некоторой
точке x
0
этого пространства.
Точка x
0
является точкой прикосновения для любого мно-
жес тва F
n
. В силу замкнутости F
n
, точка x
0
принадлежит
14      Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства


то f (x) = 0 в любой точке x ∈ ∆, в которой функция f непре-
рывна.
   Действительно, если функция f непрерывна в точке x0 ∈
∈ ∆ и f (x0 ) 6= 0, то существует окрестность O(x0 ) точки x0 , в
которой |f (x)| > 0, и поэтому тогда
                Z               Z
                   |f (x)| dx >       |f (x)| dx > 0.
               ∆             ∆∩O(x0 )
   Другие примеры полных и неполных пространств будут
рассмотрены в дальнейшем. А сейчас для метрических про-
странств докажем одно обобщение теоремы о вложенных от-
резках.
   Для любого множества E точек метрического пространства
{M ; ρ} величина
                        sup ρ(x,y)
                          x,y∈E
называется диаметром множества E и обозначается d(E).
   Очевидно, множество E ограничено тогда и только тогда,
когда d(E) < ∞.
   Определение 2. Последовательность {En } непустых мно-
жеств метрического пространства называется последователь-
ностью Коши, если
              En+1 ⊂ En    ∀ n,     lim d(E) = 0.
                                    n→∞

   Теорема. В полном метрическом пространстве всякая по-
следовательность Коши {Fn } замкнутых множеств имеет одну
общую точку.
   Д о к а з а т е л ь с т в о. В каждом Fn выберем по точке xn .
Легко видеть, что последовательность {xn } фундаментальная,
а так как пространство полное, то она сходится к некоторой
точке x0 этого пространства.
   Точка x0 является точкой прикосновения для любого мно-
жества Fn . В силу замкнутости Fn , точка x0 принадлежит

Страницы