Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

16 Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства
ства {M
∗
; ρ
∗
}, то говорят, что метрическое пространство
{M; ρ} содержится в метрическом пространстве {M
∗
; ρ
∗
}.
Определение 1. Множество M
0
элементов метрического
пространства M называется плотным в M, если его замыка-
ние совпадает с M .
Определение 2. Полное метрическое пространство M
∗
на-
зывается пополнением метрического пространства M , если
M содержится в M
∗
и плотно в нём.
Теорема. Любое метрическое пространство имеет попол-
нение.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть {M; ρ} — заданное метриче-
ское пространство. Построим новое метрическое пространство
{M
∗
; ρ
∗
}, которое содержит пространство {M; ρ}.
Последовательности {x
n
}, {y
n
} элементов из M, удовлетво-
ряющих условию
lim
n→∞
ρ(x
n
,y
n
) = 0 ,
будем называть эквивалентными и писать {x
n
} ∼ {y
n
}. Оче-
видно, если {x
n
} ∼ {y
n
}, а {y
n
} ∼ {z
n
}, то {x
n
} ∼ {z
n
}, и по-
этому множество всех последовательностей в M распа дае тся
на непересекающиеся классы эквивалентных последовательно-
стей. Нас будут интересовать только фундаментальные после-
довательности.
Итак, в пространстве {M; ρ} рассмотрим множес тво всех
фундаментальных последовательностей, и через M
∗
обозна-
чим множество всех классов эквивалентных фундаментальных
последовательностей. Если фундаментальная последователь-
ность {x
n
} принадлежит классу x
∗
, то, как обычно, будем пи-
сать {x
n
} ∈ x
∗
. В множестве M
∗
определим метрику. Оче-
видно,
ρ(x
n
,y
n
) 6 ρ(x
n
,x
m
) + ρ(x
m
,y
m
) + ρ(y
m
,y
n
)
16      Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства


ства {M ∗ ; ρ∗ }, то говорят, что метрическое пространство
{M ; ρ} содержится в метрическом пространстве {M ∗ ; ρ∗ }.
   Определение 1. Множество M 0 элементов метрического
пространства M называется плотным в M , если его замыка-
ние совпадает с M .

   Определение 2. Полное метрическое пространство M ∗ на-
зывается пополнением метрического пространства M , если
M содержится в M ∗ и плотно в нём.

   Теорема. Любое метрическое пространство имеет попол-
нение.

   Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть {M ; ρ} — заданное метриче-
ское пространство. Построим новое метрическое пространство
{M ∗ ; ρ∗ }, которое содержит пространство {M ; ρ}.
   Последовательности {xn }, {yn } элементов из M , удовлетво-
ряющих условию
                          lim ρ(xn ,yn ) = 0,
                        n→∞
будем называть эквивалентными и писать {xn } ∼ {yn }. Оче-
видно, если {xn } ∼ {yn }, а {yn } ∼ {zn }, то {xn } ∼ {zn }, и по-
этому множество всех последовательностей в M распадается
на непересекающиеся классы эквивалентных последовательно-
стей. Нас будут интересовать только фундаментальные после-
довательности.
   Итак, в пространстве {M ; ρ} рассмотрим множество всех
фундаментальных последовательностей, и через M ∗ обозна-
чим множество всех классов эквивалентных фундаментальных
последовательностей. Если фундаментальная последователь-
ность {xn } принадлежит классу x∗ , то, как обычно, будем пи-
сать {xn } ∈ x∗ . В множестве M ∗ определим метрику. Оче-
видно,

          ρ(xn ,yn ) 6 ρ(xn ,xm ) + ρ(xm ,ym ) + ρ(ym ,yn )

Страницы