Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§1. Метрические пространства 17
для любых n и m, и поэтому
|ρ(x
n
,y
n
) − ρ(x
m
,y
m
)| 6 ρ(x
n
,x
m
) + ρ(y
m
,y
n
).
Отсюда следует, что если последовательности {x
n
} и {y
n
} фун-
даментальные, то числовая последовательность ρ(x
n
,y
n
), n ∈
∈ N, — тоже фундаментальная и, следовательно, имеет предел.
Тогда если {x
n
} ∈ x
∗
, {y
n
} ∈ y
∗
, то расстояние между x
∗
и y
∗
определим по формуле
ρ(x
∗
,y
∗
) = lim
n→∞
ρ(x
n
,y
n
).
Прежде всего покажем, что это определение не зависит от
выбора последовательностей из классов x
∗
и y
∗
.
Пусть {x
0
n
} ∈ x
∗
и {y
0
n
} ∈ y
∗
. Тогда для любого n ∈ N
ρ(x
0
n
,y
0
n
) 6 ρ(x
0
n
,x
n
) + ρ(x
n
,y
n
) + ρ(y
n
,y
0
n
),
ρ(x
n
,y
n
) 6 ρ(x
n
,x
0
n
) + ρ(x
0
n
,y
0
n
) + ρ(y
0
n
,y
n
),
и поэтому
|ρ(x
0
n
,y
0
n
) − ρ(x
n
,y
n
)| 6 ρ(x
n
,x
0
n
) + ρ(y
n
,y
0
n
).
Отсюда следует, что
lim
n→∞
ρ(x
0
n
,y
0
n
) = lim
n→∞
ρ(x
n
,y
n
).
Функция ρ(x
∗
,y
∗
) удовлетворяет всем аксиомам метрики.
Действительно, ρ(x
∗
,y
∗
) > 0 и ρ(x
∗
,y
∗
) = ρ(y
∗
,x
∗
) для любых
x
∗
и y
∗
из M
∗
. Далее, если ρ(x
∗
,y
∗
) = 0, то x
∗
и y
∗
совпадают,
так как в этом случае, если {x
n
} ∈ x
∗
, {y
n
} ∈ y
∗
, то {x
n
} ∼
∼ {y
n
}. Наконец, если {x
n
} ∈ x
∗
, {y
n
} ∈ y
∗
, {z
n
} ∈ z
∗
, то из
неравенства
ρ(x
n
,y
n
) 6 ρ(x
n
,z
n
) + ρ(z
n
,y
n
)
в пределе при n → ∞ получаем
ρ(x
∗
,y
∗
) 6 ρ(x
∗
,z
∗
) + ρ(z
∗
,y
∗
).
Итак, построено метрическое пространство {M
∗
; ρ
∗
}, эле-
ментами которого являются классы эквивалентных фундамен-
тальных последовательностей элементов из M.
                   § 1. Метрические пространства                       17

для любых n и m, и поэтому
          |ρ(xn ,yn ) − ρ(xm ,ym )| 6 ρ(xn ,xm ) + ρ(ym ,yn ).
Отсюда следует, что если последовательности {xn } и {yn } фун-
даментальные, то числовая последовательность ρ(xn ,yn ), n ∈
∈ N, — тоже фундаментальная и, следовательно, имеет предел.
Тогда если {xn } ∈ x∗ , {yn } ∈ y ∗ , то расстояние между x∗ и y ∗
определим по формуле
                        ρ(x∗ ,y ∗ ) = lim ρ(xn ,yn ).
                                      n→∞
   Прежде всего покажем, что это определение не зависит от
выбора последовательностей из классов x∗ и y ∗ .
   Пусть {x0n } ∈ x∗ и {yn0 } ∈ y ∗ . Тогда для любого n ∈ N
            ρ(x0n ,yn0 ) 6 ρ(x0n ,xn ) + ρ(xn ,yn ) + ρ(yn ,yn0 ),
            ρ(xn ,yn ) 6 ρ(xn ,x0n ) + ρ(x0n ,yn0 ) + ρ(yn0 ,yn ),
и поэтому
            |ρ(x0n ,yn0 ) − ρ(xn ,yn )| 6 ρ(xn ,x0n ) + ρ(yn ,yn0 ).
Отсюда следует, что
                     lim ρ(x0n ,yn0 ) = lim ρ(xn ,yn ).
                   n→∞                    n→∞
   Функция      ρ(x∗ ,y ∗ )
                         удовлетворяет всем аксиомам метрики.
Действительно, ρ(x ,y ∗ ) > 0 и ρ(x∗ ,y ∗ ) = ρ(y ∗ ,x∗ ) для любых
                      ∗

x∗ и y ∗ из M ∗ . Далее, если ρ(x∗ ,y ∗ ) = 0, то x∗ и y ∗ совпадают,
так как в этом случае, если {xn } ∈ x∗ , {yn } ∈ y ∗ , то {xn } ∼
∼ {yn }. Наконец, если {xn } ∈ x∗ , {yn } ∈ y ∗ , {zn } ∈ z ∗ , то из
неравенства
                   ρ(xn ,yn ) 6 ρ(xn ,zn ) + ρ(zn ,yn )
в пределе при n → ∞ получаем
                    ρ(x∗ ,y ∗ ) 6 ρ(x∗ ,z ∗ ) + ρ(z ∗ ,y ∗ ).
   Итак, построено метрическое пространство {M ∗ ; ρ∗ }, эле-
ментами которого являются классы эквивалентных фундамен-
тальных последовательностей элементов из M .

Страницы