Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

18 Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства
Покажем, что пространство {M
∗
; ρ
∗
} содержит подпро-
странство, которое изометрично пространству {M; ρ}.
Каждому элементу x ∈ M поставим в соответствие эле-
мент x
∗
∈ M
∗
, содержащий стационарную последовательность
x
n
= x, n ∈ N. Очевидно, это соответствие определяет вза-
имно однозначное отображение M на некоторое подмножество
M
0
множества M
∗
. Более того, это отображение является изо-
метричным, так как если x
∗
и y
∗
из M
0
, то существуют x и y
из M такие, что {x} ∈ x
∗
, {y} ∈ y
∗
, и поэтому
ρ
∗
(x
∗
,y
∗
) = ρ(x,y).
Докажем, что множество M
0
плотно в M
∗
, т.е. что любая
точка x
∗
∈ M
∗
является пределом последовательности из M
0
.
Пусть {x
n
} ∈ x
∗
. Через x
∗
k
обозначим элемент из M
0
, соот-
ветствующий элементу x
k
∈ M. Тогда, согласно определению,
ρ
∗
(x
∗
,x
∗
k
) = lim
n→∞
ρ(x
n
,x
k
).
А так как последовательность {x
n
} фундаментальная, то
∀ε > 0 ∃N
ε
: ∀n,k > N
ε
ρ(x
n
,x
k
) <
ε
2
,
и поэтому
∀k > N
ε
ρ
∗
(x
∗
,x
∗
k
) 6
ε
2
< ε.
Следовательно, lim
k→∞
ρ
∗
(x
∗
,x
∗
k
) = 0.
Для завершения доказательства осталос ь показать, что ме-
трическое пространство {M
∗
; ρ
∗
} полное.
Пусть {x
∗
n
} — фундаментальная последовательность точек
из M
∗
. Для любого n ∈ N существует y
n
∈ M такое, что
ρ
∗
(x
∗
n
; y
∗
n
) <
1
n
,
где y
∗
n
— элемент из M
0
, соответствующий элементу y
n
∈ M.
Последовательность {y
∗
n
} фундаментальная. Действи-
тельно, это следует из неравенства
ρ
∗
(y
∗
n
,y
∗
m
) 6 ρ
∗
(y
∗
n
,x
∗
n
) + ρ
∗
(x
∗
n
,x
∗
m
) + ρ
∗
(x
∗
m
,y
∗
m
) <
18      Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства


    Покажем, что пространство {M ∗ ; ρ∗ } содержит подпро-
странство, которое изометрично пространству {M ; ρ}.
    Каждому элементу x ∈ M поставим в соответствие эле-
мент x∗ ∈ M ∗ , содержащий стационарную последовательность
xn = x, n ∈ N. Очевидно, это соответствие определяет вза-
имно однозначное отображение M на некоторое подмножество
M 0 множества M ∗ . Более того, это отображение является изо-
метричным, так как если x∗ и y ∗ из M 0 , то существуют x и y
из M такие, что {x} ∈ x∗ , {y} ∈ y ∗ , и поэтому
                          ρ∗ (x∗ ,y ∗ ) = ρ(x,y).
Докажем, что множество M 0 плотно в M ∗ , т.е. что любая
точка x∗ ∈ M ∗ является пределом последовательности из M 0 .
   Пусть {xn } ∈ x∗ . Через x∗k обозначим элемент из M 0 , соот-
ветствующий элементу xk ∈ M . Тогда, согласно определению,
                     ρ∗ (x∗ ,x∗k ) = lim ρ(xn ,xk ).
                                     n→∞
А так как последовательность {xn } фундаментальная, то
                                               ε
         ∀ ε > 0 ∃ Nε : ∀ n,k > Nε ρ(xn ,xk ) < ,
                                               2
и поэтому
                                        ε
                ∀ k > Nε ρ∗ (x∗ ,x∗k ) 6 < ε.
                                        2
Следовательно, lim ρ∗ (x∗ ,x∗k ) = 0.
                  k→∞
   Для завершения доказательства осталось показать, что ме-
трическое пространство {M ∗ ; ρ∗ } полное.
   Пусть {x∗n } — фундаментальная последовательность точек
из M ∗ . Для любого n ∈ N существует yn ∈ M такое, что
                                        1
                       ρ∗ (x∗n ; yn∗ ) < ,
                                        n
     ∗                 0
где yn — элемент из M , соответствующий элементу yn ∈ M .
   Последовательность {yn∗ } фундаментальная.      Действи-
тельно, это следует из неравенства
      ρ∗ (yn∗ ,ym
                ∗
                  ) 6 ρ∗ (yn∗ ,x∗n ) + ρ∗ (x∗n ,x∗m ) + ρ∗ (x∗m ,ym
                                                                  ∗
                                                                    )<

Страницы