Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 20 стр.

20         Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства

   Известно, что множество точек пространства Rn компактно
тогда и только тогда, когда оно ограничено и замкнуто в
Rn (см. § 3 главы 6). Как увидим в дальнейшем, в общем
случае для метрических пространств это утверждение явля-
ется неверным. Вместо ограниченности нужна так называе-
мая вполне ограниченность множества. Для множеств из Rn
эти понятия совпадают.
   Определение 2. Пусть X — некоторое множество точек
метрического пространства {M ; ρ}. Множество B ⊂ M назы-
вается ε-сетью для множества X, если
                       ∀x ∈ X        ∃a ∈ B :        ρ(x,a) ∈ ε.

   Определение 3. Множество X точек метрического про-
странства {M ; ρ} называется вполне ограниченным, если для
любого ε > 0 в M для него существует конечная ε-сеть.
   Ясно, что всякое вполне ограниченное множество является
ограниченным. Однако существуют ограниченные множества,
которые не являются вполне ограниченными. Например, мно-
жество последовательностей
     e1 = (1,0, . . .), e2 = (0,1,0, . . .), . . . , en = (0, . . . ,0,1, . . .), . . .
(здесь у en n-й член равен 1, а все другие равны нулю), в про-
странстве ограниченных последовательностей (см. пример 2
из п. 1.2) является ограниченным, но, очевидно, для него не
существует конечной ε-сети, например, с ε = 0,5.
    Заметим, что в определениях 1 и 3 возможен случай, ко-
гда X = M . Оказывается, не ограничивая общности, можно
рассматривать только этот случай. В связи с этим вводят
следующие определения.
    Метрическое пространство {M ; ρ} называется компакт-
ным, если множество M компактно. Аналогично, метрическое
пространство {M ; ρ} называется вполне ограниченным, если
множество M вполне ограничено.