Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 22 стр.

22      Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства

   Д о к а з а т е л ь с т в о. Сначала докажем, что если метри-
ческое пространство M компактное, то оно полное. Доказы-
вать будем методом от противного.
   Предположим, что некоторое компактное метрическое про-
странство M является неполным, и через M ∗ обозначим его
пополнение. Тогда в M ∗ существует точка x∗ , которая не при-
надлежит множеству M . Как обычно, через O1/n (x∗ ) обозна-
чим открытый шар радиуса 1/n с центром в точке x∗ , а через
O1/n (x∗ ) — его замыкание. Семейство открытых множеств
                  Gn = M \O1/n (x∗ ),    n ∈ N,
покрывает множество M . Однако никакая конечная совокуп-
ность этих множеств его не покрывает, так как любой шар
O1/n (x∗ ) содержит хотя бы одну точку множества M . Следо-
вательно, наше предположение неверное.
   Докажем теперь, что если метрическое пространство M
компактное, то оно вполне ограниченное.
   Каждую точку x ∈ M покроем шаром Oε (x) радиуса ε > 0.
Из компактности M следует существование конечного числа
точек x1 ,x2 , . . . ,xN таких, что шары
                   Oε (xj ),   j = 1,2, . . . ,N,
покрывают множество M . Очевидно, что эти точки образуют
конечную ε-сеть для множества M .
   Теорема 1 доказана.
   Теорема 2. Если метрическое пространство полное и
вполне ограниченное, то оно компактное.
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть метрическое пространство
M полное и вполне ограниченное. Предположим, что оно не
является компактным, т.е. существует семейство открытых
множеств Xα , α ∈ A, которое покрывает множество M , но
никакая конечная совокупность этих множеств не покрывает
это множество.