Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 24 стр.

24     Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства

и только тогда, когда любая последовательность его точек со-
держит сходящуюся подпоследовательность.
    Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем сначала следующее
утверждение:
    Если метрическое пространство {M ; ρ} компактное, то лю-
бая последовательность {xn } его точек содержит сходящуюся
подпоследовательность.
    Предположим, что есть последовательность {xn }, которая
не имеет сходящейся подпоследовательности. Следовательно,
ни одна точка x ∈ M не является её частичным пределом, и
поэтому у каждой точки x есть окрестность O(x), которая со-
держит лишь конечное число членов последовательности {xn }.
Эти окрестности образуют покрытие множества M , причём,
согласно построению, никакая конечная совокупность не по-
крывает последовательность {xn }, что противоречит компакт-
ности множества M .
    Наше утверждение доказано. Докажем теперь обратное
утверждение:
    Если любая последовательность {xn } точек метрического
пространства {M ; ρ} содержит сходящуюся подпоследователь-
ность, то это пространство компактное.
    Во-первых, это пространство полное. Действительно, лю-
бая фундаментальная последовательность имеет предел, так
как у неё есть сходящаяся подпоследовательность. Докажем,
что пространство {M ; ρ} вполне ограниченное. Доказывать
будем методом от противного.
    Пусть множество M не является вполне ограниченным, т.е.
существует ε > 0 такое, что для M не существует конечной
ε-сети. Тогда, очевидно, множество M содержит бесконечное
число точек. Построим последовательность {xn } следующим
образом.
    Выберем некоторую точку x1 ∈ M . По предположению, она
не образует ε-сети для M , поэтому существует точка x2 ∈ M