Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 25 стр.

                § 1. Метрические пространства                25


такая, что ρ(x1 ,x2 ) > ε. Точки x1 , x2 тоже не образуют ε-сети
для X, и поэтому существует точка x3 такая, что ρ(x3 ,xj ) > ε,
j = 1,2. Точки x1 ,x2 ,x3 выбраны так, что для любого i 6= j,
где i,j = 1,2,3, справедливо неравенство
                          ρ(xi ,xj ) > ε.                    (1)

   Пусть в множестве X выбраны точки x1 ,x2 , . . . ,xn так, что
для любых i 6= j, где i,j = 1,2, . . . ,n, справедливо неравен-
ство (1). Так как эти точки не образуют ε-сети для X, то
существует точка xn+1 ∈ X такая, что
                ρ(xn+1 ,xi ) > ε   ∀ i = 1,2, . . . ,n.
Таким образом, по индукции, строится последовательность
{xn }, для которой справедливо условие:
                     ρ(xi ,xj ) > ε   ∀ i 6= j.
Очевидно, эта последовательность не является фундаменталь-
ной.
   Теорема 3 доказана.
   В учебной и научной литературе компактные множества
(в нашем определении) иногда называют бикомпактами, а
компактами называют множества, у которых любая после-
довательность их точек содержит сходящуюся подпоследова-
тельность. Теорема 3 утверждает, что для метрических про-
странств эти понятия совпадают.
   Множество метрического пространства будем называть
предкомпактом, если его замыкание компактно. Из критерия
компактности следует, что множество точек полного метри-
ческого пространства предкомпактно тогда и только то-
гда, когда оно вполне ограничено.
   В учебной и научной литературе предкомпактные множе-
ства иногда называются компактными, а компактные — би-
компактными.