Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 26 стр.

26      Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства

1.5. Критерий Арцела компактности множеств
     в пространстве непрерывных функций
   В этом пункте укажем необходимые и достаточные условия
предкомпактности семейства функций в пространстве непре-
рывных функций C[a; b], но прежде сформулируем несколько
определений.
   Определение 1. Семейство S функций f , определённых и
непрерывных на отрезке [a; b], называется равномерно ограни-
ченным, если
               ∃c :      ∀f ∈ S      max |f (x)| 6 c.          (1)
                                    x∈[a;b]

   Определение 2. Семейство S функций f , определённых и
непрерывных на отрезке [a; b], называется равностепенно не-
прерывным, если
         ∀ε > 0   ∃δ > 0 :        ∀ f ∈ S, ∀ x,x0 ∈ [a; b] :
                      |x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − f (x0 )| < ε.   (2)

   Теорема. Семейство S функций f , определённых и непре-
рывных на отрезке [a; b], предкомпактно в пространстве C[a; b]
тогда и только тогда, когда оно равномерно ограничено и рав-
ностепенно непрерывно.
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть семейство S предкомпактно.
Согласно определению, это означает, что S компактно. По-
этому множество S, а следовательно, и множество S в про-
странстве C[a; b] не только ограничено, но и вполне ограни-
чено.
   Ограниченность семейства S в пространстве C[a; b] озна-
чает, что это семейство функций равномерно ограничено на
отрезке [a; b].
   Вполне ограниченность семейства S в пространстве C[a; b]
означает, что для любого ε > 0 в C[a; b] для S существует
конечная ε-сеть.