Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

28 Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства
точках (x
i
,y
i
). Очевидно, множество A состоит из конечного
числа функций.
Выберем теперь некоторую функцию f ∈ S. Для каждого
x
i
через (x
i
,y
j
i
) обозначим точку вида (x
i
,y
j
), ближайшую к
точке (x
i
,f(x
i
)). Очевидно,
|f(x
i
) − y
j
i
| < ε.
Через ϕ обозначим непрерывную функцию, графиком кото-
рой является ломаная с вершинами в точках
(x
0
,y
0
), (x
1
,y
j
1
), . . . , (x
n
,y
j
n
).
Очевидно, для любого i имеем:
|ϕ(x
i
) − ϕ(x
i−1
)| 6 |ϕ(x
i
) − f(x
i
)| + |f(x
i
) − f(x
i−1
)|+
+ |f(x
i−1
) − ϕ(x
i−1
)| < 3ε.
Кроме того, для любого x ∈ [x
i−1
; x
i
]
|ϕ(x) − ϕ(x
i−1
)| 6 |ϕ(x
i
) − ϕ(x
i−1
)| < 3ε.
Для оценки ρ(f,ϕ) в пространстве C[a; b] заметим, что ка-
ждая точка x ∈ [a; b] содержится в некотором отрезке [x
i−1
; x
i
],
и поэтому
|f(x) − ϕ(x)| 6 |f(x) − f(x
i−1
)| + |f(x
i−1
) − ϕ(x
i−1
)|+
+ |ϕ(x
i−1
) − ϕ(x)| < ε + ε + 3ε = 5ε.
Следовате льно, ρ(f,ϕ) < 5ε.
Так как здесь ε может быть любым положительным чи-
слом, то тем самым доказано, что множество S вполне огра-
ничено.
Теорема доказана.
Эта теорема называется критерием Арцела компактности
семейства непрерывных функций.
28        Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства


точках (xi ,yi ). Очевидно, множество A состоит из конечного
числа функций.
   Выберем теперь некоторую функцию f ∈ S. Для каждого
xi через (xi ,yji ) обозначим точку вида (xi ,yj ), ближайшую к
точке (xi ,f (xi )). Очевидно,

                             |f (xi ) − yji | < ε.

   Через ϕ обозначим непрерывную функцию, графиком кото-
рой является ломаная с вершинами в точках

                    (x0 ,y0 ), (x1 ,yj1 ), . . . , (xn ,yjn ).

     Очевидно, для любого i имеем:
      |ϕ(xi ) − ϕ(xi−1 )| 6 |ϕ(xi ) − f (xi )| + |f (xi ) − f (xi−1 )|+
                             + |f (xi−1 ) − ϕ(xi−1 )| < 3ε.
Кроме того, для любого x ∈ [xi−1 ; xi ]

             |ϕ(x) − ϕ(xi−1 )| 6 |ϕ(xi ) − ϕ(xi−1 )| < 3ε.

   Для оценки ρ(f,ϕ) в пространстве C[a; b] заметим, что ка-
ждая точка x ∈ [a; b] содержится в некотором отрезке [xi−1 ; xi ],
и поэтому
      |f (x) − ϕ(x)| 6 |f (x) − f (xi−1 )| + |f (xi−1 ) − ϕ(xi−1 )|+
                        + |ϕ(xi−1 ) − ϕ(x)| < ε + ε + 3ε = 5ε.
Следовательно, ρ(f,ϕ) < 5ε.
   Так как здесь ε может быть любым положительным чи-
слом, то тем самым доказано, что множество S вполне огра-
ничено.
   Теорема доказана.
   Эта теорема называется критерием Арцела компактности
семейства непрерывных функций.

Страницы