Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 29 стр.

         § 2. Отображения метрических пространств             29


    § 2. Отображения метрических пространств
2.1. Непрерывные отображения
    Пусть заданы два метрических пространства {X; ρX },
{Y ; ρY } и некоторое множество G ⊂ X. Тогда если задано
правило f , по которому каждой точке x ∈ G ставится в соот-
ветствие некоторая точка y ∈ Y , то говорят, что задано ото-
бражение множества G метрического пространства X в метри-
ческое пространство Y .
    Так как множество G ⊂ X с метрикой ρX является метри-
ческим пространством, то, не ограничивая общности, можно
считать, что G = X. Поэтому в дальнейшем будем рассма-
тривать отображения метрических пространств.
    Как обычно, если задано отображение f : X → Y , то точка
y ∈ Y , которая ставится в соответствие точке x ∈ X, назы-
вается образом точки x при отображении f и обозначается
f (x), а любая точка x ∈ X, которой в соответствие ставится
точка y ∈ Y , называется прообразом точки y. Множество всех
прообразов точки y ∈ Y называется полным прообразом точки
y и обозначается f −1 (y).
    Для любого множества A ⊂ X множество всех y = f (x), x ∈
∈ A, называется образом множества G и обозначается f (A).
    Для любого множества B ⊂ Y множество всех x ∈ X таких,
что f (x) ⊂ B, называется полным прообразом (или просто
прообразом) множества B и обозначается f −1 (B).
   Определение 1. Отображение f : X → Y называется не-
прерывным в точке x0 ∈ X, если
       ∀ε > 0 ∃δ > 0 :    ∀ x ∈ Oδ (x0 ), f (x) ∈ Oε (y0 ),   (1)
где y0 = f (x0 ).
   Условие (1) можно записать в равносильной форме, исполь-
зуя вместо ε-δ-окрестностей произвольные окрестности.
   Напомним, что любое открытое множество, содержащее
точку x0 , называется окрестностью точки x0 и обозначается