Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 31 стр.

          § 2. Отображения метрических пространств            31


множества f −1 (G) содержится в нём с некоторой своей окрест-
ностью, т.е. множество f −1 (G) открытое.
   Пусть теперь отображение F такое, что если G открытое,
то f −1 (G) тоже открытое. Тогда для любой точки x0 ∈ X вы-
полняется условие: для любой окрестности O(y0 ) точки y0 =
= f (x0 ) множество U = f −1 (O(y0 )) открытое, а так как x0 ∈
∈ U , то U — окрестность точки x0 . Таким образом, для любой
окрестности O(y0 ) точки y0 существует окрестность U точки
x0 такая, что f (U ) = O(y0 ). А это и означает, что f непре-
рывно в точке x0 .
   Теорема 2 доказана.
    Следствие. Отображение f метрического пространства
X в метрическое пространство Y непрерывно тогда и только
тогда, когда прообраз любого замкнутого множества является
замкнутым множеством.
    Это утверждение является очевидным следствием теоремы
2, так как открытые и замкнутые множества являются вза-
имно дополнительными, и, кроме того, прообраз дополнения
является дополнением прообраза.
2.2. Непрерывные отображения компактов
   Пусть, как и в предыдущем пункте, заданы два метриче-
ских пространства {X; ρX } и {Y ; ρY } и некоторое отображение
f пространства X в пространство Y .
   Теорема 1. Пусть отображение f метрического простран-
ства X в метрическое пространство Y непрерывно. Тогда
если пространство X компактное, то множество f (X) тоже
компактное.
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Yα , α ∈ A, — некоторое от-
крытое покрытие множества f (X) в пространстве Y . Из те-
оремы 2 предыдущего пункта следует, что множества Xα =
= f −1 (Yα ), покрывающие X, открытые. Так как X компакт-
ное, то существует конечная совокупность этих множеств, ко-