Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

30 Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства
O(x
0
). Легко видеть, что условие (1) равносильно условию:
∀O(y
0
) ∃O(x
0
) : f(O(x
0
)) ⊂ O(y
0
). (2)
Как и для числовых функций, определение непрерывно-
сти отображения можно сформулировать с помощью последо-
вательностей.
Определение 2. Отображение f : X → Y называется не-
прерывным в точке x
0
∈ X, если для любой последователь-
ности {x
n
} точек из X, сходящейся к x
0
, последовательность
точек y
n
= f(x
n
), n ∈ N, сходится к y
0
= f(x
0
).
Доказательство эквивалентности определений 1 и 2 анало-
гично случаю числовых функций.
В качестве упражнения предлагается доказать теорему о
непрерывности композиции непрерывных отображений.
Теорема 1. Если отображение f : X → Y непрерывно в
точке x
0
∈ X, а отображение g : Y → Z непрерывно в точке
y
0
= f (x
0
), то их композиция, заданная формулой z = g(f(x)),
непрерывна в точке x
0
.
Определение 3. Отображение f : X → Y называется не-
прерывным отображением пространства X в пространство
Y , если оно непрерывно в каждой точке x ∈ X.
Теорема 2. Отображение f метрического пространства X
в метрическое пространство Y непрерывно тогда и только то-
гда, когда прообраз любого открытого множества является от-
крытым множеством.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть отображение f непрерывно,
и пусть G — некоторое открытое множество точек простран-
ства Y . Тогда если x
0
∈ f
−1
(G), то G является окрестно-
стью точки y
0
= f(x
0
). Согласно определению непрерывности
(см. (2)), существует O(x
0
) такая, что f(O(x
0
)) ⊂ G, и, сле-
довательно, O(x
0
) ⊂ f
−1
(G). Таким образом, каждая точка
30      Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства


O(x0 ). Легко видеть, что условие (1) равносильно условию:
            ∀ O(y0 ) ∃ O(x0 ) :   f (O(x0 )) ⊂ O(y0 ).      (2)
   Как и для числовых функций, определение непрерывно-
сти отображения можно сформулировать с помощью последо-
вательностей.
   Определение 2. Отображение f : X → Y называется не-
прерывным в точке x0 ∈ X, если для любой последователь-
ности {xn } точек из X, сходящейся к x0 , последовательность
точек yn = f (xn ), n ∈ N, сходится к y0 = f (x0 ).
   Доказательство эквивалентности определений 1 и 2 анало-
гично случаю числовых функций.
   В качестве упражнения предлагается доказать теорему о
непрерывности композиции непрерывных отображений.
   Теорема 1. Если отображение f : X → Y непрерывно в
точке x0 ∈ X, а отображение g : Y → Z непрерывно в точке
y0 = f (x0 ), то их композиция, заданная формулой z = g(f (x)),
непрерывна в точке x0 .

    Определение 3. Отображение f : X → Y называется не-
прерывным отображением пространства X в пространство
Y , если оно непрерывно в каждой точке x ∈ X.

   Теорема 2. Отображение f метрического пространства X
в метрическое пространство Y непрерывно тогда и только то-
гда, когда прообраз любого открытого множества является от-
крытым множеством.
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть отображение f непрерывно,
и пусть G — некоторое открытое множество точек простран-
ства Y . Тогда если x0 ∈ f −1 (G), то G является окрестно-
стью точки y0 = f (x0 ). Согласно определению непрерывности
(см. (2)), существует O(x0 ) такая, что f (O(x0 )) ⊂ G, и, сле-
довательно, O(x0 ) ⊂ f −1 (G). Таким образом, каждая точка

Страницы