Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 32 стр.

32     Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства

торая покрывает X. Тогда образы множеств этого конечного
покрытия покрывают множество f (X).
    Теорема 1 доказана.
    Эту теорему коротко формулируют так: непрерывный
образ компакта есть компакт.
    Это утверждение является обобщением теоремы из пункта
4.2 главы 6, доказанной для непрерывных отображений из Rn
в Rm .
   Определение 1. Отображение f метрического простран-
ства {X; ρX } в метрическое пространство {Y ; ρY } называется
равномерно непрерывным, если выполняется условие:
      ∀ε > 0   ∃δ > 0 :    ∀ x,x0 ∈ X :    ρX (x,x0 ) < δ ⇒
                    ⇒ ρY (f (x),f (x0 )) < ε.

   Теорема 2. Непрерывное отображение компакта равно-
мерно непрерывно.
   Доказательство этой теоремы почти дословно повторяет до-
казательство теоремы 4 из пункта 4.5 главы 6.
   Определение 2. Отображение одного метрического про-
странства на другое называется гомеоморфизмом этих про-
странств, если оно непрерывно, взаимно однозначно, и обрат-
ное отображение тоже непрерывно.

   Теорема 3. Пусть отображение f метрического простран-
ства X в метрическое пространство Y непрерывно и взаимно
однозначно. Тогда если пространство X компактное, то обрат-
ное отображение непрерывно.
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как компактное множество
всегда замкнуто, а замкнутое множество компакта компактно,
то из теоремы 1 следует, что при непрерывном отображении
компакта образ любого замкнутого множества замкнут. Таким
образом, для любого замкнутого множества F ⊂ X множество