Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 34 стр.

34      Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства


   Определение 1. Метрическое пространство {M ; ρ} назы-
вается связным, если множество M нельзя представить в виде
объединения двух непустых непересекающихся открытых мно-
жеств M1 и M2 .

   Теорема 1. Пусть отображение f метрического простран-
ства X на метрическое пространство Y непрерывно. Тогда
если пространство X связно, то пространство Y тоже связно.

   Д о к а з а т е л ь с т в о. Будем доказывать методом от про-
тивного. Пусть пространство Y не является связным. Тогда
множество Y можно представить в виде объединения двух не-
пустых непересекающихся открытых множеств Y1 и Y2 . При
непрерывном отображении f их прообразы X1 и X2 непустые,
открытые и непересекающиеся, причём X = X1 ∪ X2 . Однако
это противоречит тому, что множество X связное.
   Теорема доказана.
   Коротко её формулируют так:
   Непрерывный образ связного множества является связ-
ным множеством.
   Легко видеть, что это утверждение является обобщением
теоремы Коши о промежуточных значениях для числовых
функций. Обобщением утверждения о том, что непрерывная
числовая функция отрезок отображает в отрезок, является сле-
дующая теорема.

   Теорема 2. Непрерывный образ связного компакта есть
связный компакт.

   Это утверждение следует из предыдущей теоремы и тео-
ремы 1 предыдущего пункта.
   Непустой связный компакт иногда называют контину-
умом. Тогда теорему 2 формулируют следующим образом:
   Непрерывный образ континуума есть континуум.