Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 35 стр.

           § 2. Отображения метрических пространств                   35

2.4. Сжимающие отображения и неподвижные точки
   Смысл понятий “сжимающее отображение” и “неподвиж-
ная точка” по существу содержится в самих их названиях.
   Определение 1. Отображение метрического пространства
{X; ρ} в себя называется сжимающим, если
        ∃ q ∈ (0; 1) :    ∀ x,y ∈ X    ρ(f (x),f (y)) 6 qρ(x,y).     (1)

   Из условия (1) видно, что сжимающее отображение f : X →
→ X непрерывно, и, более того, оно равномерно непрерывно на
X.
  Определение 2. Точка x ∈ X называется неподвижной
точкой отображения f : X → X, если f (x) = x.

   Теорема 1. Сжимающее отображение полного метриче-
ского пространства в себя имеет и притом единственную непо-
движную точку.
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть отображение f : X → X
удовлетворяет условию (1). Выберем некоторую точку x0 ∈
∈ X и по рекуррентной формуле
                         xn = f (xn−1 ),   n ∈ N,                    (2)
построим последовательность {xn }. Она является фундамен-
тальной. Действительно,
          ρ(xn+1 ,xn ) = ρ(f (xn ),f (xn−1 )) 6 qρ(xn ,xn−1 )
и, следовательно,
                 ρ(xn+1 ,xn ) 6 q n ρ(x1 ,x0 ) ∀n ∈ N.
Поэтому
ρ(xn ,xn+p ) 6 ρ(xn ,xn+1 ) + ρ(xn+1 ,xn+2 ) + . . . +
          +ρ(xn+p−1 ,xn+p ) 6 (q n + q n+1 + . . . + q n+p−1 )ρ(x1 ,x0 ).