Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§2. Отображения метрических пространств 37
ний. С его помощью можно не только доказывать существо-
вание и единственность решения уравнения f(x) = x, но и
находить его с любой степенью точности относительно рас-
сматриваемой метрики.
Принцип сжимающих отображений является простейшим
из так называемых принципов неподвижной точки.
В качестве простейшего примера применения принципа
сжимающих отображений рассмотрим решение систе м линей-
ных алгебраических уравнений методом итераций.
Пусть M
n
— метрическое пространство, точками которого
являются точки арифметического n-мерного пространс тва R
n
,
а метрика введена по формуле
ρ(x,y) = max
i
|ξ
i
− η
i
|,
где x = (ξ
1
,ξ
2
, . . . ,ξ
n
), y = (η
1
,η
2
, . . . ,η
n
).
Легко доказать, что так определённое метрическое про-
странство M
n
полное. Рассмотрим отображение f простран-
ства M
n
в себя, заданное равенством
f(x) = Ax + b, (4)
где A — квадратная матрица порядка n, а b = (b
1
,b
2
, . . . ,b
n
).
Пусть A = (a
ij
), x = (ξ
1
,ξ
2
, . . . ,ξ
n
), x
0
= (ξ
0
1
,ξ
0
2
, . . . ,ξ
0
n
). Тогда
ρ(f(x),f(x
0
)) = ρ(Ax,Ax
0
) = max
i
n
X
j=1
a
ij
(ξ
j
− ξ
0
j
)
6
6 max
i
n
X
j=1
|a
ij
| · max
j
|ξ
j
− ξ
0
j
| =
= max
i
n
X
j=1
|a
ij
| · ρ(x,x
0
).
              § 2. Отображения метрических пространств                               37

ний. С его помощью можно не только доказывать существо-
вание и единственность решения уравнения f (x) = x, но и
находить его с любой степенью точности относительно рас-
сматриваемой метрики.
   Принцип сжимающих отображений является простейшим
из так называемых принципов неподвижной точки.
   В качестве простейшего примера применения принципа
сжимающих отображений рассмотрим решение систем линей-
ных алгебраических уравнений методом итераций.
   Пусть Mn — метрическое пространство, точками которого
являются точки арифметического n-мерного пространства Rn ,
а метрика введена по формуле

                             ρ(x,y) = max |ξi − ηi |,
                                              i

где x = (ξ1 ,ξ2 , . . . ,ξn ), y = (η1 ,η2 , . . . ,ηn ).
   Легко доказать, что так определённое метрическое про-
странство Mn полное. Рассмотрим отображение f простран-
ства Mn в себя, заданное равенством

                                     f (x) = Ax + b,                                 (4)

где A — квадратная матрица порядка n, а b = (b1 ,b2 , . . . ,bn ).
Пусть A = (aij ), x = (ξ1 ,ξ2 , . . . ,ξn ), x0 = (ξ10 ,ξ20 , . . . ,ξn0 ). Тогда

                                                          n
                                                          X
       ρ(f (x),f (x0 )) = ρ(Ax,Ax0 ) = max                       aij (ξj − ξj0 ) 6
                                                     i
                                                          j=1
                                      n
                                      X
                          6 max             |aij | · max |ξj − ξj0 | =
                                 i                    j
                                      j=1
                                      Xn
                          = max             |aij | · ρ(x,x0 ).
                                 i
                                      j=1

Страницы