Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§3. Линейные, нормированные и банаховы пространства 39
Пример 1. Рассмотрим интегральное уравнение Воль-
терра
x(t) = λ
Z
t
a
K(t,τ)x(τ) dτ + f(t),
где λ — некоторое число, функция f(t) непрерывна на отрезке
[a; b], функция K(t,τ ) непрерывна на квадрате ∆ = [a; b]×[a; b],
а x(t) — искомая функция.
Очевидно, оператор
A(x) = λ
Z
t
a
K(t,τ)x(τ) dτ + f(t)
действует из C[a; b] в C[a; b]. Для него имеем:
|A(x)(t) − A(y)(t)| =
λ
Z
t
a
K(t,τ)(x(τ) − y(τ)) dτ
6
6 |λ| · q · ρ(x,y) · (t − a),
где q = max |K(t,τ)|, (t,τ ) ∈ ∆. Далее,
|A
2
(x)(t) − A
2
(y)(t)| 6 |λ|
2
· q
2
· ρ(x,y)
(t − a)
2
2
,
и для n-й степени оператора A имеем:
|A
n
(x)(t) − A
n
(y)(t)| 6 |λ|
n
· q
n
· ρ(x,y)
(t − a)
n
n!
.
Очевидно, для любых λ и q существует n такое, что
λ
n
q
n
(b − a)
n
n!
< 1.
Для этого n отображение A
n
будет сжимающим.
Из теоремы 3 следует, что уравнение Вольтерра при любом
λ имеет и притом единственное непрерывное решение.
§ 3. Линейные, нормированные и банаховы
пространства
3.1. Линейные пространства
Линейные (или векторные) пространства над полем R дей-
ствительных чисел и над полем C комплексных чисел опреде-
    § 3. Линейные, нормированные и банаховы пространства             39

   Пример 1. Рассмотрим интегральное уравнение Воль-
терра                Z t
            x(t) = λ     K(t,τ )x(τ ) dτ + f (t),
                            a
где λ — некоторое число, функция f (t) непрерывна на отрезке
[a; b], функция K(t,τ ) непрерывна на квадрате ∆ = [a; b] × [a; b],
а x(t) — искомая функция.
     Очевидно, оператор
                           Z t
                A(x) = λ       K(t,τ )x(τ ) dτ + f (t)
                             a
действует из C[a; b] в C[a; b]. Для него имеем:
                               Z t
     |A(x)(t) − A(y)(t)| = λ       K(t,τ )(x(τ ) − y(τ )) dτ 6
                                  a
                           6 |λ| · q · ρ(x,y) · (t − a),
где q = max |K(t,τ )|, (t,τ ) ∈ ∆. Далее,
                                                        (t − a)2
        |A2 (x)(t) − A2 (y)(t)| 6 |λ|2 · q 2 · ρ(x,y)            ,
                                                            2
и для n-й степени оператора A имеем:
                                           (t − a)n
        |An (x)(t) − An (y)(t)| 6 |λ|n · q n · ρ(x,y)
                                                    .
                                              n!
   Очевидно, для любых λ и q существует n такое, что
                     λn q n (b − a)n
                                     < 1.
                             n!
Для этого n отображение An будет сжимающим.
   Из теоремы 3 следует, что уравнение Вольтерра при любом
λ имеет и притом единственное непрерывное решение.

     § 3. Линейные, нормированные и банаховы
                   пространства
3.1. Линейные пространства
   Линейные (или векторные) пространства над полем R дей-
ствительных чисел и над полем C комплексных чисел опреде-

Страницы