Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 41 стр.

    § 3. Линейные, нормированные и банаховы пространства        41


   8) α(x + y) = αx + αy (дистрибутивность относительно
      элементов пространства);
   Для данного элемента x ∈ L элемент y ∈ L, удовлетворя-
ющий условию x + y = 0, называется противоположным эле-
менту x и обозначается −x. Таким образом, по определению
                          x + (−x) = 0.
   Элемент x + (−y) называется разностью элементов x,y и
обозначается x − y.
   Элементы линейного пространства обычно называют век-
торами, а операции сложения векторов и умножения вектора
на число — линейными операциями.
    Определение 2. Линейное пространство L0 называется
подпространством линейного пространства L, если L0 ⊂ L и
операции сложения векторов и умножения вектора на число в
L0 определены так же, как и L.
   Из этого определения следует, что операции сложения эле-
ментов и умножения элемента на число, определенные в L, за-
мкнуты в L0 , т.е. если x,y из L0 , то x + y тоже из L0 , и αx ∈ L0
для любого числа α.
   Линейной комбинацией векторов x1 , . . . ,xn называется лю-
бой вектор вида
                          α1 x1 + . . . + an xn ,               (1)
где α1 , . . . ,αn — числовые множители.
   Линейная комбинация (1) называется нетривиальной, если
хотя бы один из коэффициентов α1 ,α2 , . . . ,αn отличен от нуля.
   Векторы x1 ,x2 , . . . ,xn называются линейно зависимыми,
если существует нетривиальная линейная комбинация (1), рав-
ная нулю. Если же только тривиальная линейная комбинация
этих векторов равна нулю, то векторы x1 ,x2 , . . . ,xn называ-
ются линейно независимыми.
   Определение 3. Произвольная система векторов линей-